Transformar a equação x^2+4 y^2-2 x-16 y+5=0 por meio de uma translação de eixos, considerando a nova origem ou o novo centro no ponto (1,2).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação e precisamos fazer uma translação dos eixos, ou seja, mudar a origem para o ponto (1,2). O conteúdo que vamos usar aqui inclui translação de coordenadas e completar o quadrado para transformar a equação. Precisamos reescrever a equação original de modo que o centro da nova coordenada seja (1,2).

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de x^2 - 2x + 4y^2 - 16y = -5 e :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 e 4y^2 - 16y = 4(y^2 - 4y) = 4[(y - 2)^2 - 4] = 4(y - 2)^2 - 16 . Para :
Para :

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
(x - 1)^2 - 1 + 4(y - 2)^2 - 16 = -5
Simplificando:
(x - 1)^2 + 4(y - 2)^2 - 17 = -5
(x - 1)^2 + 4(y - 2)^2 = 12

Resposta

A equação transformada após a translação dos eixos para o ponto (1,2) é:
(x - 1)^2 + 4(y - 2)^2 = 12

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