A equação possui uma raiz no intervalo ? A sequência produzida por será convergente para essa raiz? Explique.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação quadrática e queremos saber se ela tem uma raiz no intervalo . Além disso, queremos verificar se a sequência gerada pela função converge para essa raiz. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções quadráticas, teorema de Bolzano e métodos de iteração para encontrar raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação possui uma raiz no intervalo . Para isso, usamos o teorema de Bolzano, que diz que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Calculando :
Calculando :
Como e , a função muda de sinal no intervalo . Pelo teorema de Bolzano, isso confirma que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos analisar se a sequência gerada por converge para essa raiz. Para que a sequência converge para uma raiz, a função deve satisfazer certos critérios, como o critério de convergência de Banach, que envolve a derivada da função no ponto fixo.
Primeiro, encontramos a derivada de :
Para a sequência convergir, o valor absoluto da derivada no ponto fixo deve ser menor que 1:
No intervalo , temos que , então:
Portanto, para todo no intervalo , o que satisfaz o critério de convergência de Banach. Isso significa que a sequência gerada por será convergente para a raiz da equação no intervalo dado.
Resposta
Sim, a equação possui uma raiz no intervalo e a sequência gerada por é convergente para essa raiz.