A equação f(x)=x^2+x-1 / 4=0 possui uma raiz no intervalo (-0.5,0.5) ? A sequência produzida por x=phi(x)=-x^2+1 / 4 será convergente para essa raiz? Explique.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação quadrática e queremos saber se ela tem uma raiz no intervalo . Além disso, queremos verificar se a sequência gerada pela função converge para essa raiz. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções quadráticas, teorema de Bolzano e métodos de iteração para encontrar raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação f(-0.5) = (-0.5)^2 + (-0.5) - 14 = 0.25 - 0.5 - 0.25 = -0.5 possui uma raiz no intervalo f(0.5) = (0.5)^2 + 0.5 - 14 = 0.25 + 0.5 - 0.25 = 0.5 . Para isso, usamos o teorema de Bolzano, que diz que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Calculando :
Calculando :
Como e , a função muda de sinal no intervalo . Pelo teorema de Bolzano, isso confirma que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos analisar se a sequência gerada por phi'(x) = ddx ( -x^2 + 14 ) = -2x converge para essa raiz. Para que a sequência converge para uma raiz, a função |phi'(x)| = | -2x | = 2|x| < 1 deve satisfazer certos critérios, como o critério de convergência de Banach, que envolve a derivada da função no ponto fixo.
Primeiro, encontramos a derivada de 2|x| < 2 times 0.5 = 1 :
Para a sequência convergir, o valor absoluto da derivada no ponto fixo deve ser menor que 1:
No intervalo , temos que , então:
Portanto, para todo no intervalo , o que satisfaz o critério de convergência de Banach. Isso significa que a sequência gerada por será convergente para a raiz da equação no intervalo dado.

Resposta

Sim, a equação possui uma raiz no intervalo e a sequência gerada por é convergente para essa raiz.

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