A equação possui uma raiz no intervalo ? A sequência produzida por será convergente para essa raiz? Explique.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação quadrática e queremos saber se ela tem uma raiz no intervalo . Além disso, queremos verificar se a sequência gerada pela função converge para essa raiz. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções quadráticas, teorema de Bolzano e métodos de iteração para encontrar raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação possui uma raiz no intervalo . Para isso, usamos o teorema de Bolzano, que diz que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Calculando :
Calculando :
Como e , a função muda de sinal no intervalo . Pelo teorema de Bolzano, isso confirma que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos analisar se a sequência gerada por converge para essa raiz. Para que a sequência converge para uma raiz, a função deve satisfazer certos critérios, como o critério de convergência de Banach, que envolve a derivada da função no ponto fixo.
Primeiro, encontramos a derivada de :
Para a sequência convergir, o valor absoluto da derivada no ponto fixo deve ser menor que 1:
No intervalo , temos que , então:
Portanto, para todo no intervalo , o que satisfaz o critério de convergência de Banach. Isso significa que a sequência gerada por será convergente para a raiz da equação no intervalo dado.

Resposta

Sim, a equação possui uma raiz no intervalo e a sequência gerada por é convergente para essa raiz.

Exercícios relacionados

Verifique se o Teorema de Bolzano pode ser utilizado para as funções a seguir no intervalo apresentado. Justifique sua resposta.
a) para .
b) para .
c) para .
d) para .
Complete a tabela a seguir considerando 3 casas decimais (c.d.):
Número Arredondamento Truncamento
248,376921
0,0009998
74584,098504
453746,451236
Em cada item, faça o que se pede.
a) Mostre que possui uma única raiz positiva.
b) Com o método de Newton, determine a raiz positiva de considerando 6 c.d.c , se possível.
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A) Escreva o sistema na forma matricial.
B) Apresente a matriz L e a matriz U.
C) Quais os valores de e w que solucionam o sistema por decomposição LU?