A equação
possui uma raiz no intervalo
? A sequência produzida por
será convergente para essa raiz? Explique.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação quadrática
e queremos saber se ela tem uma raiz no intervalo
. Além disso, queremos verificar se a sequência gerada pela função
converge para essa raiz. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções quadráticas, teorema de Bolzano e métodos de iteração para encontrar raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação
possui uma raiz no intervalo
. Para isso, usamos o teorema de Bolzano, que diz que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Calculando
:
Calculando
:
Como
e
, a função muda de sinal no intervalo
. Pelo teorema de Bolzano, isso confirma que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos analisar se a sequência gerada por
converge para essa raiz. Para que a sequência converge para uma raiz, a função
deve satisfazer certos critérios, como o critério de convergência de Banach, que envolve a derivada da função no ponto fixo.
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Para a sequência convergir, o valor absoluto da derivada no ponto fixo deve ser menor que 1:
No intervalo
, temos que
, então:
Portanto,
para todo
no intervalo
, o que satisfaz o critério de convergência de Banach. Isso significa que a sequência gerada por
será convergente para a raiz da equação no intervalo dado.
Resposta
Sim, a equação
possui uma raiz no intervalo
e a sequência gerada por
é convergente para essa raiz.