Em cada item, faça o que se pede.
a) Mostre que x^2+x-8,5=0 possui uma única raiz positiva.
b) Com o método de Newton, determine a raiz positiva de x^2+x-8,5=0 considerando 6 c.d.c , se possível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que tem duas partes. A primeira parte (a) pede para mostrar que a equação quadrática tem uma única raiz positiva. A matéria aqui envolve entender equações quadráticas e suas raízes, usando o discriminante. Na segunda parte (b), vamos aplicar o método de Newton para encontrar essa raiz positiva com 6 casas decimais.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a). Temos a equação quadrática:
x^2 + x - 8,5 = 0
Para encontrar as raízes dessa equação, usamos a fórmula de Bhaskara, que nos ajuda a resolver equações do tipo .

Passo 3

A fórmula de Bhaskara é:
x = -b pm raizb^2 - 4ac 2a
Aqui, os coeficientes são , e .

Passo 4

Vamos calcular o discriminante ( De):
O discriminante nos diz quantas raízes reais a equação tem. Como , temos duas raízes reais.

Passo 5

Agora, aplicamos Bhaskara para encontrar as raízes:
x = -1 pm raiz35 2
Calculando:
raiz35 approx 5,91608
Portanto:
x1 = -1 + 5,91608 2 approx 4,916082 approx 2,45804
x2 = -1 - 5,91608 2 approx -6,916082 approx -3,45804

Passo 6

Observamos que uma das raízes é positiva ( ) e a outra negativa ( ). Portanto, a equação possui exatamente uma única raiz positiva.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). Vamos usar o método de Newton para encontrar a raiz positiva com 6 casas decimais de precisão. O método de Newton utiliza a seguinte fórmula iterativa:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Onde e .

Passo 8

Primeiro, precisamos escolher um palpite inicial ( ). Observando as raízes encontradas anteriormente, sabemos que a raiz positiva está perto de 2,45804. Vamos escolher como nosso ponto de partida.

Passo 9

Agora, aplicamos a fórmula de Newton:
f(x) = x^2 + x - 8,5
f'(x) = 2x + 1
Calculando para f(2,5) = (2,5)^2 + 2,5 - 8,5 = 6,25 + 2,5 - 8,5 = 0,25 :
f'(2,5) = 2 times 2,5 + 1 = 5 + 1 = 6
x1 = 2,5 - 0,256 = 2,5 - 0,0416667 approx 2,4583333

Passo 10

Vamos iterar mais uma vez usando f(2,4583333) = (2,4583333)^2 + 2,4583333 - 8,5 approx 6,0422363 + 2,4583333 - 8,5 = -0,0000004 :
f'(2,4583333) = 2 times 2,4583333 + 1 approx 4,9166666 + 1 = 5,9166666
x2 = 2,4583333 - -0,00000045,9166666 approx 2,4583333

Resposta

A raiz positiva da equação é aproximadamente .

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