Em cada item, faça o que se pede.
a) Mostre que possui uma única raiz positiva.
b) Com o método de Newton, determine a raiz positiva de considerando 6 c.d.c , se possível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que tem duas partes. A primeira parte (a) pede para mostrar que a equação quadrática tem uma única raiz positiva. A matéria aqui envolve entender equações quadráticas e suas raízes, usando o discriminante. Na segunda parte (b), vamos aplicar o método de Newton para encontrar essa raiz positiva com 6 casas decimais.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a). Temos a equação quadrática:
Para encontrar as raízes dessa equação, usamos a fórmula de Bhaskara, que nos ajuda a resolver equações do tipo .

Passo 3

A fórmula de Bhaskara é:
Aqui, os coeficientes são , e .

Passo 4

Vamos calcular o discriminante ( ):
O discriminante nos diz quantas raízes reais a equação tem. Como , temos duas raízes reais.

Passo 5

Agora, aplicamos Bhaskara para encontrar as raízes:
Calculando:
Portanto:

Passo 6

Observamos que uma das raízes é positiva ( ) e a outra negativa ( ). Portanto, a equação possui exatamente uma única raiz positiva.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). Vamos usar o método de Newton para encontrar a raiz positiva com 6 casas decimais de precisão. O método de Newton utiliza a seguinte fórmula iterativa:
Onde e .

Passo 8

Primeiro, precisamos escolher um palpite inicial ( ). Observando as raízes encontradas anteriormente, sabemos que a raiz positiva está perto de 2,45804. Vamos escolher como nosso ponto de partida.

Passo 9

Agora, aplicamos a fórmula de Newton:
Calculando para :

Passo 10

Vamos iterar mais uma vez usando :

Resposta

A raiz positiva da equação é aproximadamente .

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a)
b)
c)