Em cada item, faça o que se pede.
a) Mostre que
possui uma única raiz positiva.
b) Com o método de Newton, determine a raiz positiva de
considerando 6 c.d.c , se possível.
a) Mostre que
b) Com o método de Newton, determine a raiz positiva de
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que tem duas partes. A primeira parte (a) pede para mostrar que a equação quadrática
tem uma única raiz positiva. A matéria aqui envolve entender equações quadráticas e suas raízes, usando o discriminante. Na segunda parte (b), vamos aplicar o método de Newton para encontrar essa raiz positiva com 6 casas decimais.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a). Temos a equação quadrática:
Para encontrar as raízes dessa equação, usamos a fórmula de Bhaskara, que nos ajuda a resolver equações do tipo
.
Passo 3
A fórmula de Bhaskara é:
Aqui, os coeficientes são
,
e
.
Passo 4
Vamos calcular o discriminante (
):
O discriminante nos diz quantas raízes reais a equação tem. Como
, temos duas raízes reais.
Passo 5
Agora, aplicamos Bhaskara para encontrar as raízes:
Calculando:
Portanto:
Passo 6
Observamos que uma das raízes é positiva (
) e a outra negativa (
). Portanto, a equação
possui exatamente uma única raiz positiva.
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b). Vamos usar o método de Newton para encontrar a raiz positiva com 6 casas decimais de precisão. O método de Newton utiliza a seguinte fórmula iterativa:
Onde
e
.
Passo 8
Primeiro, precisamos escolher um palpite inicial (
). Observando as raízes encontradas anteriormente, sabemos que a raiz positiva está perto de 2,45804. Vamos escolher
como nosso ponto de partida.
Passo 9
Agora, aplicamos a fórmula de Newton:
Calculando para
:
Passo 10
Vamos iterar mais uma vez usando
:
Resposta
A raiz positiva da equação
é aproximadamente
.