Verifique se o Teorema de Bolzano pode ser utilizado para as funções a seguir no intervalo apresentado. Justifique sua resposta.
a) para .
b) para .
c) para .
d) para .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o Teorema de Bolzano pode ser aplicado em cada uma das funções dadas nos intervalos apresentados. O Teorema de Bolzano está relacionado com a continuidade das funções e garante que, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos um ponto onde a função é zero nesse intervalo. Para aplicar o teorema, vamos precisar verificar se as funções são contínuas nos intervalos e se elas mudam de sinal nesses intervalos.
Passo 2
a) para
Primeiro, vamos verificar a continuidade dessa função no intervalo . A função logarítmica natural é contínua para . No nosso caso, temos , então o argumento deve ser maior que zero:
No intervalo , os valores de vão de 5 a 12. Para :
Para :
Portanto, a função não está definida para no intervalo dado, o que significa que ela não é contínua em todo o intervalo . Além disso, como a função não está definida para , não podemos aplicar o Teorema de Bolzano aqui.
Passo 3
b) para
Vamos verificar se essa função é contínua no intervalo . A função polinomial é contínua em todo o seu domínio. A função cosseno também é contínua para todo o . A soma de funções contínuas é contínua, então é contínua no intervalo .
Agora, vamos verificar se há mudança de sinal no intervalo. Calculamos os valores de nas extremidades:
Vemos que é negativo e é positivo. Isso indica que a função muda de sinal no intervalo .
Passo 4
c) para
Primeiro, simplificamos a função:
Vamos verificar a continuidade:
Numerador: está definida quando .
As raízes são . Testando intervalos:
: negativo
: positivo
: negativo
: positivo
No intervalo , a função está definida para e .
Denominador: . O discriminante é:
Como , o denominador nunca é zero e é sempre positivo.
Portanto, a função é contínua onde está definida, ou seja, para e .
Agora, vamos ver se há mudança de sinal nesses sub-intervalos:
Para :
Para :
Para :
Para :
Observamos que a função não muda de sinal nos intervalos onde está definida.
Passo 5
d) para
Primeiro, vamos verificar a continuidade da função. A raiz quarta está definida quando o argumento é maior ou igual a zero:
No intervalo , varia de aproximadamente 1.57 a 6.28. Vamos analisar :
A função é crescente e oscila entre -1 e 1. Portanto, será sempre positivo nesse intervalo, já que e , então .
Como a função está bem definida e envolve operações contínuas (raiz e soma), é contínua no intervalo .
Agora, vamos verificar se a função muda de sinal:
Como no intervalo, é sempre não negativa. Portanto, não há mudança de sinal.
Resposta
a) Não, o Teorema de Bolzano não pode ser aplicado porque a função não é contínua em todo o intervalo .
b) Sim, o Teorema de Bolzano pode ser aplicado em no intervalo porque a função é contínua e muda de sinal nesse intervalo.
c) Não, o Teorema de Bolzano não pode ser aplicado em no intervalo porque a função não muda de sinal nos sub-intervalos onde está definida.
d) Não, o Teorema de Bolzano não pode ser aplicado em no intervalo porque a função não muda de sinal nesse intervalo.