Verifique se o Teorema de Bolzano pode ser utilizado para as funções a seguir no intervalo apresentado. Justifique sua resposta.
a)
para
.
b)
para
.
c)
para
.
d)
para
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o Teorema de Bolzano pode ser aplicado em cada uma das funções dadas nos intervalos apresentados. O Teorema de Bolzano está relacionado com a continuidade das funções e garante que, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos um ponto onde a função é zero nesse intervalo. Para aplicar o teorema, vamos precisar verificar se as funções são contínuas nos intervalos e se elas mudam de sinal nesses intervalos.
Passo 2
a)
para
Primeiro, vamos verificar a continuidade dessa função no intervalo
. A função logarítmica natural
é contínua para
. No nosso caso, temos
, então o argumento
deve ser maior que zero:
No intervalo
, os valores de
vão de 5 a 12. Para
:
Para
:
Portanto, a função não está definida para
no intervalo dado, o que significa que ela não é contínua em todo o intervalo
. Além disso, como a função não está definida para
, não podemos aplicar o Teorema de Bolzano aqui.
Passo 3
b)
para
Vamos verificar se essa função é contínua no intervalo
. A função polinomial
é contínua em todo o seu domínio. A função cosseno
também é contínua para todo o
. A soma de funções contínuas é contínua, então
é contínua no intervalo
.
Agora, vamos verificar se há mudança de sinal no intervalo. Calculamos os valores de
nas extremidades:
Vemos que
é negativo e
é positivo. Isso indica que a função muda de sinal no intervalo
.
Passo 4
c)
para
Primeiro, simplificamos a função:
Vamos verificar a continuidade:
- Numerador:
está definida quando .
As raízes são
. Testando intervalos:
-
: negativo -
: positivo -
: negativo -
: positivo
No intervalo
, a função está definida para
e
.
- Denominador:
. O discriminante é:
Como
, o denominador nunca é zero e é sempre positivo.
Portanto, a função
é contínua onde está definida, ou seja, para
e
.
Agora, vamos ver se há mudança de sinal nesses sub-intervalos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Observamos que a função não muda de sinal nos intervalos onde está definida.
Passo 5
d)
para
Primeiro, vamos verificar a continuidade da função. A raiz quarta está definida quando o argumento é maior ou igual a zero:
No intervalo
,
varia de aproximadamente 1.57 a 6.28. Vamos analisar
:
A função
é crescente e
oscila entre -1 e 1. Portanto,
será sempre positivo nesse intervalo, já que
e
, então
.
Como a função está bem definida e envolve operações contínuas (raiz e soma),
é contínua no intervalo
.
Agora, vamos verificar se a função muda de sinal:
Como
no intervalo,
é sempre não negativa. Portanto, não há mudança de sinal.
Resposta
a) Não, o Teorema de Bolzano não pode ser aplicado porque a função
não é contínua em todo o intervalo
.
b) Sim, o Teorema de Bolzano pode ser aplicado em
no intervalo
porque a função é contínua e muda de sinal nesse intervalo.
c) Não, o Teorema de Bolzano não pode ser aplicado em
no intervalo
porque a função não muda de sinal nos sub-intervalos onde está definida.
d) Não, o Teorema de Bolzano não pode ser aplicado em
no intervalo
porque a função não muda de sinal nesse intervalo.