Verifique se o Teorema de Bolzano pode ser utilizado para as funções a seguir no intervalo apresentado. Justifique sua resposta.
a) f(x)=ln (x-8) para [5,12].
b) f(x)=x^3-2 x^2+cos (x) para [-4,6].
c) f(x)=raizx^3-2 x+x2 x^2-2 x+1 para [-2,3].
d) f(x)=raiz[4]x+sen(x) para [pi2, 2 pi].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o Teorema de Bolzano pode ser aplicado em cada uma das funções dadas nos intervalos apresentados. O Teorema de Bolzano está relacionado com a continuidade das funções e garante que, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos um ponto onde a função é zero nesse intervalo. Para aplicar o teorema, vamos precisar verificar se as funções são contínuas nos intervalos e se elas mudam de sinal nesses intervalos.

Passo 2

a) x - 8 > 0 implies x > 8 para 5 - 8 = -3 (dentro do logaritmo fica negativo, o que não é permitido)

Primeiro, vamos verificar a continuidade dessa função no intervalo 12 - 8 = 4 (válido) . A função logarítmica natural é contínua para . No nosso caso, temos , então o argumento deve ser maior que zero:
No intervalo , os valores de vão de 5 a 12. Para :
ãé
Para :
á
Portanto, a função não está definida para no intervalo dado, o que significa que ela não é contínua em todo o intervalo . Além disso, como a função não está definida para , não podemos aplicar o Teorema de Bolzano aqui.

Passo 3

b) f(-4) = (-4)^3 - 2(-4)^2 + cos(-4) = -64 - 32 + cos(4) approx -96 + (-0.6536) approx -96.6536 para f(6) = 6^3 - 2(6)^2 + cos(6) = 216 - 72 + cos(6) approx 144 + 0.9602 approx 144.9602

Vamos verificar se essa função é contínua no intervalo . A função polinomial é contínua em todo o seu domínio. A função cosseno também é contínua para todo o . A soma de funções contínuas é contínua, então é contínua no intervalo .
Agora, vamos verificar se há mudança de sinal no intervalo. Calculamos os valores de nas extremidades:
Vemos que é negativo e é positivo. Isso indica que a função muda de sinal no intervalo .

Passo 4

c) f(x) = raizx^3 - x2x^2 - 2x + 1 para x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)

Primeiro, simplificamos a função:
De
Vamos verificar a continuidade:
  1. Numerador: f(-1) = raiz(-1)^3 - (-1)2(-1)^2 - 2(-1) + 1 = raiz-1 + 12 + 2 + 1 = 05 = 0 está definida quando f(0) = raiz0 - 00 - 0 + 1 = 0 .
f(1) = raiz1 - 12 - 2 + 1 = 0
As raízes são f(3) = raiz27 - 318 - 6 + 1 = raiz2413 approx 4.89913 approx 0.377 . Testando intervalos:
  • : negativo
  • : positivo
  • : negativo
  • : positivo
No intervalo , a função está definida para e .
  1. Denominador: . O discriminante é:
Como , o denominador nunca é zero e é sempre positivo.
Portanto, a função é contínua onde está definida, ou seja, para e .
Agora, vamos ver se há mudança de sinal nesses sub-intervalos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Observamos que a função não muda de sinal nos intervalos onde está definida.

Passo 5

d) x + sin(x) >= 0 para

Primeiro, vamos verificar a continuidade da função. A raiz quarta está definida quando o argumento é maior ou igual a zero:
No intervalo , varia de aproximadamente 1.57 a 6.28. Vamos analisar :
A função é crescente e oscila entre -1 e 1. Portanto, será sempre positivo nesse intervalo, já que e , então .
Como a função está bem definida e envolve operações contínuas (raiz e soma), é contínua no intervalo .
Agora, vamos verificar se a função muda de sinal:
Como no intervalo, é sempre não negativa. Portanto, não há mudança de sinal.

Resposta

a) Não, o Teorema de Bolzano não pode ser aplicado porque a função não é contínua em todo o intervalo .
b) Sim, o Teorema de Bolzano pode ser aplicado em no intervalo porque a função é contínua e muda de sinal nesse intervalo.
c) Não, o Teorema de Bolzano não pode ser aplicado em no intervalo porque a função não muda de sinal nos sub-intervalos onde está definida.
d) Não, o Teorema de Bolzano não pode ser aplicado em no intervalo porque a função não muda de sinal nesse intervalo.

Exercícios relacionados