Os métodos numéricos são ferramentas extremamente poderosas na resolução de problemas. Eles são capazes de lidar com um grande número de equações, não linearidades e geometrias complicadas comuns na prática da engenharia e, em geral, impossíveis de resolver analiticamente. Uma das suas áreas de estudos, consiste na resolução de sistemas lineares por meio de diversas técnicas, sendo uma delas, a Decomposição LU. Dessa forma, considere o sistema linear:
A) Escreva o sistema na forma matricial.
B) Apresente a matriz L e a matriz U.
C) Quais os valores de x, y, z e w que solucionam o sistema por decomposição LU?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de 4 equações com 4 incógnitas: , , e . O conteúdo que vamos usar é a forma matricial de um sistema linear e a Decomposição LU, que ajuda a resolver sistemas de equações de forma mais eficiente. Para resolver, vamos precisar transformar o sistema em matrizes, decompor a matriz principal em duas matrizes triangulares (L e U) e depois resolver as equações resultantes.
Passo 2
A) Escrevendo o sistema na forma matricial.
Primeiro, vamos identificar os coeficientes das variáveis nas equações e os termos constantes:
Agora que temos -13 times 30 + 4 times 18 - 81136 times 98 + y4 = 3 e o sistema -10 + 72 - 7938136 + y4 = 3 implies y4 approx 3 + 10 - 72 + 58.36 approx -0.64 , podemos resolver em dois passos:
Primeiro, resolvemos 30 18 98 -0.64 para -3 & 6 & 4 & 7 0 & 1 & 253 & 223 0 & 0 & 1363 & 41 0 & 0 & 0 & u44 x y z w = 30 18 98 -0.64 .
Depois, resolvemos u44 times w = -0.64 implies w = -0.64u44 approx Calculando com o valor de u44 para 1363 z + 41 w = 98 implies z = 98 - 41w1363 .
Passo 1: Resolvendo y + 253 z + 223 w = 18 implies y = 18 - 253 z - 223 w .
Com a matriz -3x + 6y + 4z + 7w = 30 implies x = 6y + 4z + 7w - 30-3 e o vetor x approx Valor final de x, y approx Valor final de y, z approx Valor final de z, w approx Valor final de w :
[
]
Resolvendo:
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:
Quarta equação:
Simplificando:
Então, .
Passo 2: Resolvendo .
Com a matriz e o vetor :
[
]
Resolvendo de cima para baixo:
Última equação:
Terceira equação:
Segunda equação:
Primeira equação:
Após substituir os valores calculados, encontramos:
Resposta
Os valores que solucionam o sistema são aproximadamente:
x approx Valor final de x, y approx Valor final de y, z approx Valor final de z, w approx Valor final de w