Os métodos numéricos são ferramentas extremamente poderosas na resolução de problemas. Eles são capazes de lidar com um grande número de equações, não linearidades e geometrias complicadas comuns na prática da engenharia e, em geral, impossíveis de resolver analiticamente. Uma das suas áreas de estudos, consiste na resolução de sistemas lineares por meio de diversas técnicas, sendo uma delas, a Decomposição LU. Dessa forma, considere o sistema linear:
A) Escreva o sistema na forma matricial.
B) Apresente a matriz L e a matriz U.
C) Quais os valores de e w que solucionam o sistema por decomposição LU?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de 4 equações com 4 incógnitas: , , e . O conteúdo que vamos usar é a forma matricial de um sistema linear e a Decomposição LU, que ajuda a resolver sistemas de equações de forma mais eficiente. Para resolver, vamos precisar transformar o sistema em matrizes, decompor a matriz principal em duas matrizes triangulares (L e U) e depois resolver as equações resultantes.
Passo 2
A) Escrevendo o sistema na forma matricial.
Primeiro, vamos identificar os coeficientes das variáveis nas equações e os termos constantes:
A forma matricial é dada por , onde:
Então, o sistema na forma matricial fica:
[
]
Passo 3
B) Apresentando as matrizes L e U pela Decomposição LU.
A Decomposição LU divide a matriz em duas matrizes: uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior , de forma que .
Vamos construir as matrizes e passo a passo.
Primeiro, definimos com 1’s na diagonal principal e elementos abaixo da diagonal:
E com os elementos acima e na diagonal:
Agora, vamos calcular os elementos de e :
Primeira linha de :
Primeiro elemento abaixo da diagonal em :
Atualizando a segunda linha de :
Calculando e :
Atualizando a terceira linha de :
Calculando , e :
Atualizando a quarta linha de :
í
Para simplificar, vamos considerar os cálculos finais já feitos, resultando em:
Passo 4
C) Encontrando os valores de , , e usando a Decomposição LU.
Agora que temos e o sistema , podemos resolver em dois passos:
Primeiro, resolvemos para .
Depois, resolvemos para .
Passo 1: Resolvendo .
Com a matriz e o vetor :
[
]
Resolvendo:
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:
Quarta equação:
Simplificando:
Então, .
Passo 2: Resolvendo .
Com a matriz e o vetor :
[
]
Resolvendo de cima para baixo:
Última equação:
Terceira equação:
Segunda equação:
Primeira equação:
Após substituir os valores calculados, encontramos:
Resposta
Os valores que solucionam o sistema são aproximadamente: