A equação 4x² - 9y² - 8x - 18y - 41 = 0 representa:
Alternativa 1: Uma hipérbole de equação (x - 1)²/9 - (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 2: Uma hipérbole de equação (x + 1)²/9 + (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 3: Uma hipérbole de equação (x - 1)²/9 + (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 4: Uma elipse de equação (x - 1)²/9 - (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 5: Uma elipse de equação (x - 1)²/9 + (y + 1)²/4 = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! A gente tem a equação 4x² - 9y² - 8x - 18y - 41 = 0²² e precisa descobrir qual das alternativas ela representa. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre formas gerais e canônicas de conic sections, especialmente hipérboles e elipses. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado nos termos de x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação agrupando os termos de x e de y:
4x² - 8x - 9y² - 18y = 41 ²²

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x. Pegue o coeficiente de ², que é 4, e fatorize:
4(x² - 2x) - 9y² - 18y = 41 ²²
Para completar o quadrado dentro do parêntese, pegamos metade do coeficiente de x (-2/2 = -1) e elevamos ao quadrado, que dá 1. Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro do parêntese:
4((x² - 2x + 1) - 1) - 9y² - 18y = 41 4(x - 1)² - 4 - 9y² - 18y = 41 ²²²²

Passo 4

Vamos fazer a mesma coisa para os termos de y. Primeiro, fatoramos o -9:
4(x - 1)² - 4 - 9(y² + 2y) = 41 ²²
Completa o quadrado dentro dos parênteses: metade de 2 é 1, e 1 ao quadrado é 1. Então, adicionamos e subtraímos 1:
4(x - 1)² - 4 - 9((y² + 2y + 1) - 1) = 41 4(x - 1)² - 4 - 9(y + 1)² + 9 = 41 ²²²²

Passo 5

Agora, vamos simplificar a equação:
4(x - 1)² - 9(y + 1)² - 4 + 9 = 41 4(x - 1)² - 9(y + 1)² + 5 = 41 4(x - 1)² - 9(y + 1)² = 36 ²²²²²²
Dividindo tudo por 36 para deixar na forma padrão:
(x - 1)²9 - (y + 1)²4 = 1 ²²

Resposta

A equação representa uma hipérbole de equação (x - 1)²9 - (y + 1)²4 = 1²². Portanto, a alternativa correta é a Alternativa 1.

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