A equação 4x² - 9y² - 8x - 18y - 41 = 0 representa:
Alternativa 1: Uma hipérbole de equação (x - 1)²/9 - (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 2: Uma hipérbole de equação (x + 1)²/9 + (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 3: Uma hipérbole de equação (x - 1)²/9 + (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 4: Uma elipse de equação (x - 1)²/9 - (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 5: Uma elipse de equação (x - 1)²/9 + (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 1: Uma hipérbole de equação (x - 1)²/9 - (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 2: Uma hipérbole de equação (x + 1)²/9 + (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 3: Uma hipérbole de equação (x - 1)²/9 + (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 4: Uma elipse de equação (x - 1)²/9 - (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 5: Uma elipse de equação (x - 1)²/9 + (y + 1)²/4 = 1
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação juntos! A gente tem a equação
e precisa descobrir qual das alternativas ela representa. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre formas gerais e canônicas de conic sections, especialmente hipérboles e elipses. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado nos termos de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação agrupando os termos de
e de
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Pegue o coeficiente de
, que é 4, e fatorize:
Para completar o quadrado dentro do parêntese, pegamos metade do coeficiente de
(-2/2 = -1) e elevamos ao quadrado, que dá 1. Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro do parêntese:
Passo 4
Vamos fazer a mesma coisa para os termos de
. Primeiro, fatoramos o -9:
Completa o quadrado dentro dos parênteses: metade de 2 é 1, e 1 ao quadrado é 1. Então, adicionamos e subtraímos 1:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a equação:
Dividindo tudo por 36 para deixar na forma padrão:
Resposta
A equação representa uma hipérbole de equação
. Portanto, a alternativa correta é a Alternativa 1.