A equação abaixo descreve o comprimento de onda de De Broglie para o elétron a velocidades próximas de c (velocidade da luz), considerando correções relativísticas:
lambda=h2 me e V(1+e V2 me c^2)^1 / 2
me= massa do elétron, e= carga do elétron, V= diferença de potencial.
Em microscopia eletrônica de transmissão (MET), os elétrons são acelerados em um campo de até 200 kV . Calcule o comprimento de onda de De Broglie considerando a equação acima (0,5).

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para calcular o comprimento de onda de De Broglie de um elétron que é acelerado por uma diferença de potencial de até 200 kV na microscopia eletrônica de transmissão (MET). A equação que vamos usar leva em conta correções relativísticas, ou seja, quando a velocidade do elétron está próxima à velocidade da luz. Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula fornecida e saber como aplicar os valores dados nela.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todos os valores que precisamos:
  • é a constante de Planck, que vale aproximadamente .
  • é a massa do elétron, cerca de .
  • é a carga do elétron, aproximadamente .
  • é a diferença de potencial, que neste caso é 200 kV, ou .
  • é a velocidade da luz, .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação dada para facilitar a substituição dos valores:
lambda = h2 me e V (1 + e V2 me c^2)^1/2
Nosso objetivo é calcular , o comprimento de onda.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o termo dentro das chaves:
2 me e V (1 + e V2 me c^2)
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 5

Calculando 2 times 9,109 times 10^-31 , kg times 1,602 times 10^-19 , C times 200 times 10^3 , V :
= 2 times 9,109 times 10^-31 times 1,602 times 10^-19 times 2 times 10^5
= 2 times 9,109 times 1,602 times 2 times 10^-31 -19 +5
= 58,345 times 10^-45
= 5,8345 times 10^-44 , J

Passo 6

Agora, vamos calcular o termo 1,602 times 10^-19 , C times 200 times 10^3 , V2 times 9,109 times 10^-31 , kg times (3,00 times 10^8 , m/s)^2 :
1,602 times 10^-19 times 2 times 10^5 = 3,204 times 10^-14 , J
Primeiro, calculamos o numerador:
2 times 9,109 times 10^-31 times 9,00 times 10^16 = 2 times 9,109 times 9,00 times 10^-31 +16
Agora, o denominador:
= 163,962 times 10^-15 = 1,63962 times 10^-13 , J
3,204 times 10^-141,63962 times 10^-13 approx 0,1956
Então, o termo completo é:

Passo 7

Agora, somamos 1 a esse valor:
1 + 0,1956 = 1,1956

Passo 8

Em seguida, multiplicamos esse resultado pelo valor que calculamos no Passo 5:
5,8345 times 10^-44 , J times 1,1956 approx 6,958 times 10^-44 , J

Passo 9

Agora, tiramos a raiz quadrada desse valor:
raiz6,958 times 10^-44 approx 8,344 times 10^-22 , J^1/2

Passo 10

Finalmente, calculamos lambda = 6,626 times 10^-34 , J cdot s8,344 times 10^-22 , J^1/2 approx 7,94 times 10^-14 , m dividindo por esse resultado:

Resposta

O comprimento de onda de De Broglie do elétron é aproximadamente .

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