A trajetória de uma pedra lançada ao ar é dada por y= -5x² + 20x, com x e y em metros. Qual gráfico representa a trajetória da pedra?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a trajetória de uma pedra lançada ao ar, que é descrita pela equação $ y = -5x² + 20x $, onde $ x $ e $ y $ estão em metros. A gente vai precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre funções quadráticas, para entender qual o formato do gráfico dessa trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação $ y = -5x² + 20x $. Essa é uma função do segundo grau, que geralmente forma uma parábola quando representada no gráfico.

Passo 3

O coeficiente de $ x² $ é -5, que é negativo. Isso nos diz que a parábola abrirá para baixo. Imagino uma forma de “U” invertido.

Passo 4

Vamos encontrar o vértice da parábola, que é o ponto mais alto nesse caso. A fórmula para encontrar o vértice $ x_v $ de uma função quadrática $ y = ax² + bx + c $ é:
xv
Aqui, $ a = -5 $ e $ b = 20 $.

Passo 5

Substituindo na fórmula:
xv = -202(-5) = -20-10 = 2
Agora, para encontrar $ y_v $, substituímos $ x_v $ na equação original:
yv ²
Então, o vértice é $ (2, 20) $.

Passo 6

Também podemos encontrar as raízes da equação, que são os pontos onde a pedra toca o solo ($ y = 0 $). Resolvendo $ -5x² + 20x = 0 $:
y = 0
Então, $ x = 0 $ ou $ x = 4 -5x² + 20x = 0 çã x = 0 -5x(x - 4) = 0 ãó x = 4 $).

Resposta

O gráfico da trajetória da pedra é uma parábola que abre para baixo, com vértice no ponto $ (2, 20) $ e interceptando o eixo $ x $ nos pontos $ (0, 0) $ e $ (4, 0) $.

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