A trajetória de uma pedra lançada ao ar é dada por y= -5x² + 20x, com x e y em metros. Qual gráfico representa a trajetória da pedra?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a trajetória de uma pedra lançada ao ar, que é descrita pela equação $ y = -5x² + 20x $, onde $ x $ e $ y $ estão em metros. A gente vai precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre funções quadráticas, para entender qual o formato do gráfico dessa trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação $ y = -5x² + 20x $. Essa é uma função do segundo grau, que geralmente forma uma parábola quando representada no gráfico.
Passo 3
O coeficiente de $ x² $ é -5, que é negativo. Isso nos diz que a parábola abrirá para baixo. Imagino uma forma de “U” invertido.
Passo 4
Vamos encontrar o vértice da parábola, que é o ponto mais alto nesse caso. A fórmula para encontrar o vértice $ x_v $ de uma função quadrática $ y = ax² + bx + c $ é:
Aqui, $ a = -5 $ e $ b = 20 $.
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Agora, para encontrar $ y_v $, substituímos $ x_v $ na equação original:
Então, o vértice é $ (2, 20) $.
Passo 6
Também podemos encontrar as raízes da equação, que são os pontos onde a pedra toca o solo ($ y = 0 $). Resolvendo $ -5x² + 20x = 0 $:
Então, $ x = 0 $ ou $ x = 4
Resposta
O gráfico da trajetória da pedra é uma parábola que abre para baixo, com vértice no ponto $ (2, 20) $ e interceptando o eixo $ x $ nos pontos $ (0, 0) $ e $ (4, 0) $.