Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
e) Utilize o método de substituição descrito acima para encontrar a solução geral de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial chamada Equação de Bernoulli. Basicamente, é uma equação não-linear que podemos transformar em algo mais simples usando uma substituição. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre como essas equações funcionam e aplicar uma mudança de variável. Nosso objetivo é achar a solução geral da equação:

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da Equação de Bernoulli, que é:
Para isso, dividimos todos os termos da nossa equação original por :
Rearranjando, temos:
Agora, identificamos que , e .

Passo 3

A próxima etapa é usar a substituição de Bernoulli, que ajuda a transformar a equação não-linear em uma equação linear. A substituição que usamos é:
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Precisamos expressar em termos de e . Da equação acima:
Substituindo na equação original que está na forma de Bernoulli:

Passo 5

Vamos dividir toda a equação por para simplificar:
Lembrando que , substituímos:
Multiplicando tudo por -2 para deixar positivo:

Passo 6

Agora, temos uma equação linear em :
onde e .
Vamos encontrar um fator integrante :

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pela :
Simplificando:

Passo 8

Integramos ambos os lados em relação a :
Multiplicando por :

Passo 9

Lembrando que , substituímos de volta:
Invertendo para encontrar :

Resposta

A solução geral da equação é:

Exercícios relacionados

Resolva usando dois métodos diferentes e compare o resultado.
Seja dada por . Calcule e simplifique:
b)
Seja dada por . Calcule e simplifique:
d)
Verifique se as equações são equações diferencias ordinárias e caso afirmativo, indique o grau e o tipo de equações.