Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
e) Utilize o método de substituição descrito acima para encontrar a solução geral de
e) Utilize o método de substituição descrito acima para encontrar a solução geral de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial chamada Equação de Bernoulli. Basicamente, é uma equação não-linear que podemos transformar em algo mais simples usando uma substituição. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre como essas equações funcionam e aplicar uma mudança de variável. Nosso objetivo é achar a solução geral da equação:
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da Equação de Bernoulli, que é:
Para isso, dividimos todos os termos da nossa equação original por
:
Rearranjando, temos:
Agora, identificamos que
,
e
.
Passo 3
A próxima etapa é usar a substituição de Bernoulli, que ajuda a transformar a equação não-linear em uma equação linear. A substituição que usamos é:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Precisamos expressar
em termos de
e
. Da equação acima:
Substituindo
na equação original que está na forma de Bernoulli:
Passo 5
Vamos dividir toda a equação por
para simplificar:
Lembrando que
, substituímos:
Multiplicando tudo por -2 para deixar
positivo:
Passo 6
Agora, temos uma equação linear em
:
onde
e
.
Vamos encontrar um fator integrante
:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pela
:
Simplificando:
Passo 8
Integramos ambos os lados em relação a
:
Multiplicando por
:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Invertendo para encontrar
:
Resposta
A solução geral da equação é:
Exercícios relacionados
Resolva usando dois métodos diferentes e compare o resultado.
Seja
dada por
. Calcule e simplifique:
b)
b)
Seja
dada por
. Calcule e simplifique:
d)
d)
Verifique se as equações são equações diferencias ordinárias e caso afirmativo, indique o grau e o tipo de equações.