Resolva usando dois métodos diferentes e compare o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando dois métodos diferentes. Essa equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos precisar entender sobre fatores integrais e métodos alternativos de solução de equações diferenciais lineares.
Passo 2
Método 1: Fator Integrante
Primeiro, vamos usar o método do fator integrante. Esse método é útil para resolver equações diferenciais lineares da forma
.
-
Identificar
e :
Na nossa equação,e . -
Calcular o fator integrante
: -
Multiplicar toda a equação pelo fator integrante:
-
Reescrever o lado esquerdo como a derivada de um produto:
-
Integrar ambos os lados:
-
Isolar
:
Passo 3
Método 2: Equação Homogênea e Particular
Vamos resolver a mesma equação encontrando a solução geral como a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular.
-
Resolver a equação homogênea
: Separando as variáveis:Integrando ambos os lados: -
Encontrar uma solução particular (
):
Procuramos uma solução constante, já que o lado direito da equação é uma constante.
Assumindo, substituímos na equação: -
Escrever a solução geral:
Resposta
Ambos os métodos nos levam à mesma solução geral:
Exercícios relacionados
Seja
dada por
. Calcule e simplifique:
b)
b)
Utilize séries conhecidas, convergentes ou divergentes, para determinar se a série é convergente ou divergente; no caso de convergência, determine a soma.
Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
e) Utilize o método de substituição descrito acima para encontrar a solução geral de
e) Utilize o método de substituição descrito acima para encontrar a solução geral de
Seja
dada por
. Calcule e simplifique:
d)
d)