Nos seguintes exercícios, encontre e .
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos T(t) e N(t) para a curva vetorial no intervalo . Isso faz parte do estudo de vetores tangente e normal em curvas no espaço, que nos ajudam a entender a direção e a curvatura da trajetória.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Isso nos dá o vetor tangente à curva naquele ponto.
Derivando cada componente em relação a :
Usando a regra da cadeia:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude de , que é . Isso é importante para normalizar o vetor e obter o vetor unitário tangente.
Simplificando:
Podemos fatorar :
Como :

Passo 4

Com e em mãos, podemos encontrar o vetor tangente unitário T(t):

Passo 5

Agora, vamos derivar T(t) para encontrar T’(t), que nos ajudará a determinar o vetor normal unitário.
Derivando cada componente:

Passo 6

Em seguida, calculamos a magnitude de T’(t):

Passo 7

Finalmente, podemos encontrar o vetor normal unitário N(t):

Resposta

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