Nos seguintes exercícios, encontre
e
.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos T(t) e N(t) para a curva vetorial
no intervalo
. Isso faz parte do estudo de vetores tangente e normal em curvas no espaço, que nos ajudam a entender a direção e a curvatura da trajetória.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Isso nos dá o vetor tangente à curva naquele ponto.
Derivando cada componente em relação a
:
Usando a regra da cadeia:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude de
, que é
. Isso é importante para normalizar o vetor e obter o vetor unitário tangente.
Simplificando:
Podemos fatorar
:
Como
:
Passo 4
Com
e
em mãos, podemos encontrar o vetor tangente unitário T(t):
Passo 5
Agora, vamos derivar T(t) para encontrar T’(t), que nos ajudará a determinar o vetor normal unitário.
Derivando cada componente:
Passo 6
Em seguida, calculamos a magnitude de T’(t):
Passo 7
Finalmente, podemos encontrar o vetor normal unitário N(t):
Resposta
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c) Encontre a solução geral
Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
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