Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
y'' - 3y' + 2y = 2x^2 + e^x + 2xe^x + 4e^(3x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo . Esse tipo de equação é linear com coeficientes constantes e a gente vai resolver usando o método dos coeficientes indeterminados. Para isso, precisamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é . Para isso, encontramos a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Então, as raízes são e . Assim, a solução geral da parte homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . A gente faz isso dividindo o lado direito em partes e encontrando uma solução para cada uma delas.
  1. Para :
    Como é um polinômio de segundo grau, vamos tentar uma solução particular da forma:
  2. Para :
    Note que já está na solução homogênea. Quando isso acontece, a gente multiplica por para encontrar a solução particular:
  3. Para :
    Já que temos na equação, e já está na solução homogênea, vamos tentar:
  4. Para :
    Como não está na solução homogênea, podemos tentar uma solução particular simples:

Passo 4

Vamos agora determinar os coeficientes substituindo cada na equação original e igualando os coeficientes.
  1. Para :
    Calculamos as derivadas:
    Substituindo na equação:
    Simplificando:
    Igualando os coeficientes:
    Então, a solução particular para essa parte é:
  2. Para :
    Calculamos as derivadas:
    Substituindo na equação:
    Simplificando:
    Então:
    Assim, a solução particular é:
  3. Para :
    Calculamos as derivadas:
    Substituindo na equação:
    Simplificando:
    Igualando os coeficientes:
    Substituindo na primeira equação:
    Então:
    Assim, a solução particular é:
  4. Para :
    Calculamos as derivadas:
    Substituindo na equação:
    Simplificando:
    Então:
    Logo, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com todas as soluções particulares encontradas:

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