Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
. Esse tipo de equação é linear com coeficientes constantes e a gente vai resolver usando o método dos coeficientes indeterminados. Para isso, precisamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é
. Para isso, encontramos a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Então, as raízes são
e
. Assim, a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. A gente faz isso dividindo o lado direito em partes e encontrando uma solução para cada uma delas.
-
Para
:
Como é um polinômio de segundo grau, vamos tentar uma solução particular da forma: -
Para
:
Note quejá está na solução homogênea. Quando isso acontece, a gente multiplica por para encontrar a solução particular: -
Para
:
Já que temosna equação, e já está na solução homogênea, vamos tentar: -
Para
:
Comonão está na solução homogênea, podemos tentar uma solução particular simples:
Passo 4
Vamos agora determinar os coeficientes
substituindo cada
na equação original e igualando os coeficientes.
-
Para
:
Calculamos as derivadas:Substituindo na equação:Simplificando:Igualando os coeficientes:Então, a solução particular para essa parte é: -
Para
:
Calculamos as derivadas:Substituindo na equação:Simplificando:Então:Assim, a solução particular é: -
Para
:
Calculamos as derivadas:Substituindo na equação:Simplificando:Igualando os coeficientes:Substituindona primeira equação: Então:Assim, a solução particular é: -
Para
:
Calculamos as derivadas:Substituindo na equação:Simplificando:Então:Logo, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com todas as soluções particulares encontradas: