Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
y' + p(t) y = g(t) y^n
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
Resolva a equação de Bernoulli quando n = 0 e quando n = 1. Observe que em ambos os casos a equação se torna linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que o professor passou! Basicamente, temos uma equação diferencial da forma
Nosso objetivo é resolver essa equação para os casos quando e . A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, especificamente a Equação de Bernoulli. Vamos precisar entender como transformar essa equação não-linear em uma linear para facilitar a resolução.

Passo 2

Resolvendo para :
Quando , a equação fica:
Isso já é uma Equação Diferencial Linear de primeira ordem, na forma padrão:
Aqui, e . Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante.
Primeiro, calculamos o fator integrante :
Depois, multiplicamos toda a equação por :
O lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto :
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Finalmente, isolamos :

Passo 3

Resolvendo para :
Quando , a equação original fica:
Podemos simplificar isso para:
Essa também é uma Equação Diferencial Linear homogênea. Vamos resolver de maneira similar ao caso anterior usando o fator integrante.
Calculamos o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação por :
O lado esquerdo é a derivada do produto :
Integrando ambos os lados:
Isolando :

Resposta

Resolvemos a equação de Bernoulli para e , obtendo as soluções:
  • Para :
  • Para :
Onde é a constante de integração e as integrais são calculadas em relação a .

Exercícios relacionados