Questão 3. Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre uma solução particular e a solução geral das seguintes equações diferenciais:
b. y'' + 2y' + 5y = 3 sen(2x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa usando o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes complexas.

Passo 3

Calculando as raízes:
Como temos raízes complexas , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método dos coeficientes a determinar. Observamos que o lado direito é , que já aparece na solução homogênea. Por isso, precisamos multiplicar nossa suposição por para evitar termos repetidos. Vamos supor:
Derivando e substituindo na equação original, vamos determinar os coeficientes e .

Passo 5

Após substituir e igualar os coeficientes, encontramos que e . Assim, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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