Questão 3. Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre uma solução particular e a solução geral das seguintes equações diferenciais:
b.
b.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa usando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes complexas.
Passo 3
Calculando as raízes:
Como temos raízes complexas
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
usando o método dos coeficientes a determinar. Observamos que o lado direito é
, que já aparece na solução homogênea. Por isso, precisamos multiplicar nossa suposição por
para evitar termos repetidos. Vamos supor:
Derivando
e substituindo na equação original, vamos determinar os coeficientes
e
.
Passo 5
Após substituir e igualar os coeficientes, encontramos que
e
. Assim, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Questão 1. (Método da Redução de Ordem) Em cada um dos casos mostre que
é solução da equação diferencial e encontre uma segunda solução
linearmente independente da primeira:
b.
b.
Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
Resolva a equação de Bernoulli quando e quando
. Observe que em ambos os casos a equação se torna linear.
Resolva a equação de Bernoulli quando
Questão 2. (Equação de Euler) Determine um conjunto de soluções fundamentais e a solução geral das seguintes equações diferenciais:
c.
c.
Questão 3. Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre uma solução particular e a solução geral das seguintes equações diferenciais:
d.
d.