Questão 1. (Método da Redução de Ordem) Em cada um dos casos mostre que é solução da equação diferencial e encontre uma segunda solução linearmente independente da primeira:
b.

Passo 1

Beleza, pessoal! Temos uma equação diferencial de segunda ordem:

E já nos deram uma solução conhecida: . O nosso objetivo aqui é mostrar que essa realmente resolve a equação e, usando o método da redução de ordem, encontrar uma segunda solução que seja linearmente independente da primeira. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais lineares e o método da redução de ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que é realmente uma solução da equação. Para isso, precisamos calcular as derivadas de e substituir na equação.
Calculando as derivadas:
Agora, substituindo na equação diferencial:

Simplificando:
Então, de fato, é uma solução da equação.

Passo 3

Agora que confirmamos como solução, vamos usar o método da redução de ordem para encontrar . Esse método basicamente assume que pode ser escrita como , onde é uma função que precisamos descobrir.
Então, assumimos:
Nosso próximo passo é encontrar as derivadas de e substituí-las na equação diferencial para encontrar uma equação para .

Passo 4

Calculando as derivadas de :
Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando passo a passo:
  1. Distribuindo os termos:
  1. Observando que os termos se cancelam:
  1. Fatorando :
  1. Simplificando dentro do parênteses:
  1. Isso simplifica para:
Essa é uma equação diferencial mais simples para .

Passo 5

A equação é uma equação linear de segunda ordem com solução geral da forma:
Mas, para encontrar , usamos apenas uma constante, já que estamos procurando uma solução particular. Vamos escolher para evitar duplicar a solução já conhecida .
Então:

Resposta

A segunda solução linearmente independente é:

Exercícios relacionados

Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
Resolva a equação de Bernoulli quando e quando . Observe que em ambos os casos a equação se torna linear.

Exercício 23: Calcule.

c) onde é o conjunto Resp.:
Questão 3. Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre uma solução particular e a solução geral das seguintes equações diferenciais:
b.
Questão 2. (Equação de Euler) Determine um conjunto de soluções fundamentais e a solução geral das seguintes equações diferenciais:
c.