Questão 1. (Método da Redução de Ordem) Em cada um dos casos mostre que
é solução da equação diferencial e encontre uma segunda solução
linearmente independente da primeira:
b.
b.
Passo 1
Beleza, pessoal! Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
E já nos deram uma solução conhecida:
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que
é realmente uma solução da equação. Para isso, precisamos calcular as derivadas de
e substituir na equação.
Calculando as derivadas:
Agora, substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Então, de fato,
é uma solução da equação.
Passo 3
Agora que confirmamos
como solução, vamos usar o método da redução de ordem para encontrar
. Esse método basicamente assume que
pode ser escrita como
, onde
é uma função que precisamos descobrir.
Então, assumimos:
Nosso próximo passo é encontrar as derivadas de
e substituí-las na equação diferencial para encontrar uma equação para
.
Passo 4
Calculando as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Simplificando passo a passo:
- Distribuindo os termos:
- Observando que os termos
se cancelam:
- Fatorando
:
- Simplificando dentro do parênteses:
- Isso simplifica para:
Essa é uma equação diferencial mais simples para
.
Passo 5
A equação
é uma equação linear de segunda ordem com solução geral da forma:
Mas, para encontrar
, usamos apenas uma constante, já que estamos procurando uma solução particular. Vamos escolher
para evitar duplicar a solução já conhecida
.
Então:
Resposta
A segunda solução linearmente independente é: