Questão 1. (Método da Redução de Ordem) Em cada um dos casos mostre que y1 é solução da equação diferencial e encontre uma segunda solução y2 linearmente independente da primeira:
b. t^2 y'' - t(t + 2) y' + (t + 2) y = 0, y1(t) = t

Passo 1

Beleza, pessoal! Temos uma equação diferencial de segunda ordem:

E já nos deram uma solução conhecida: . O nosso objetivo aqui é mostrar que essa realmente resolve a equação e, usando o método da redução de ordem, encontrar uma segunda solução que seja linearmente independente da primeira. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais lineares e o método da redução de ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que é realmente uma solução da equação. Para isso, precisamos calcular as derivadas de e substituir na equação.
Calculando as derivadas:
Agora, substituindo na equação diferencial:

Simplificando:
Então, de fato, é uma solução da equação.

Passo 3

Agora que confirmamos como solução, vamos usar o método da redução de ordem para encontrar . Esse método basicamente assume que pode ser escrita como , onde é uma função que precisamos descobrir.
Então, assumimos:
Nosso próximo passo é encontrar as derivadas de e substituí-las na equação diferencial para encontrar uma equação para .

Passo 4

Calculando as derivadas de :
Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando passo a passo:
  1. Distribuindo os termos:
  1. Observando que os termos se cancelam:
  1. Fatorando :
  1. Simplificando dentro do parênteses:
  1. Isso simplifica para:
Essa é uma equação diferencial mais simples para .

Passo 5

A equação é uma equação linear de segunda ordem com solução geral da forma:
Mas, para encontrar , usamos apenas uma constante, já que estamos procurando uma solução particular. Vamos escolher para evitar duplicar a solução já conhecida .
Então:

Resposta

A segunda solução linearmente independente é:

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