Exercício 1. Calcule a integral integral duplaD f(x, y) d x d y para os seguintes casos:
(a) f(x, y)=2 x-y e D=(x, y) ; 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 4.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral dupla da função sobre a região definida por e . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente na área de integrais duplas. Para resolver, vamos precisar usar o método de integrais iteradas, ou seja, integrando uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral dupla. Basicamente, ela serve para calcular o volume abaixo da superfície dada pela função sobre a região . Nesse caso, nossa região é um retângulo no plano com variando de 0 a 1 e de 0 a 4.

Passo 3

Vamos configurar a integral dupla para nossa função e região. A integral fica assim:
integral duplaD (2x - y) , dx , dy = integral0^1 integral0^4 (2x - y) , dy , dx
Aqui, decidimos integrar primeiro em relação a de 0 a 4 e depois em relação a de 0 a 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral interna, ou seja, integrar integral0^4 (2x - y) , dy = [ 2x y - 12 y^2 ]0^4 em relação a , mantendo constante:
Isso significa que estamos encontrando a antiderivada de com relação a .

Passo 5

Vamos avaliar essa antiderivada nos limites de = ( 2x cdot 4 - 12 cdot 4^2 ) - ( 2x cdot 0 - 12 cdot 0^2 ) e = (8x - 8) - (0 - 0) :
= 8x - 8
Então, a integral interna resulta em .

Passo 6

Agora, vamos substituir esse resultado na integral externa e integrar em relação a integral0^1 (8x - 8) , dx = [ 4x^2 - 8x ]0^1 de 0 a 1:
Aqui, encontramos a antiderivada de com relação a .

Passo 7

Finalmente, avaliamos a antiderivada nos limites de = ( 4 cdot 1^2 - 8 cdot 1 ) - ( 4 cdot 0^2 - 8 cdot 0 ) e = (4 - 8) - (0 - 0) :
= -4

Resposta

O valor da integral dupla é .

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