Exercício 1. Calcule a integral para os seguintes casos:
(a) e e .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral dupla da função sobre a região definida por e . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente na área de integrais duplas. Para resolver, vamos precisar usar o método de integrais iteradas, ou seja, integrando uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral dupla. Basicamente, ela serve para calcular o volume abaixo da superfície dada pela função sobre a região . Nesse caso, nossa região é um retângulo no plano com variando de 0 a 1 e de 0 a 4.

Passo 3

Vamos configurar a integral dupla para nossa função e região. A integral fica assim:
Aqui, decidimos integrar primeiro em relação a de 0 a 4 e depois em relação a de 0 a 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral interna, ou seja, integrar em relação a , mantendo constante:
Isso significa que estamos encontrando a antiderivada de com relação a .

Passo 5

Vamos avaliar essa antiderivada nos limites de e :
Então, a integral interna resulta em .

Passo 6

Agora, vamos substituir esse resultado na integral externa e integrar em relação a de 0 a 1:
Aqui, encontramos a antiderivada de com relação a .

Passo 7

Finalmente, avaliamos a antiderivada nos limites de e :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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A equação de Chebyshev é
onde é uma constante (um número).
i. Mostre que e são pontos singulares regulares e encontre os exponentes em cada uma dessas singularidades (resolva a equação indicial).
ii. Encontre a solução em torno de .
Use a transformada de Laplace para determinar a solução da equação integral
para , fixo.
Exercício 1. Calcule a integral para os seguintes casos:
© e limitada por .
Resolva as EDO abaixo utilizando o método do fator integrante: