Exercício 1. Calcule a integral
para os seguintes casos:
(a)
e
e
.
(a)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral dupla da função
sobre a região
definida por
e
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente na área de integrais duplas. Para resolver, vamos precisar usar o método de integrais iteradas, ou seja, integrando uma variável de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral dupla. Basicamente, ela serve para calcular o volume abaixo da superfície dada pela função
sobre a região
. Nesse caso, nossa região
é um retângulo no plano
com
variando de 0 a 1 e
de 0 a 4.
Passo 3
Vamos configurar a integral dupla para nossa função e região. A integral fica assim:
Aqui, decidimos integrar primeiro em relação a
de 0 a 4 e depois em relação a
de 0 a 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral interna, ou seja, integrar
em relação a
, mantendo
constante:
Isso significa que estamos encontrando a antiderivada de
com relação a
.
Passo 5
Vamos avaliar essa antiderivada nos limites de
e
:
Então, a integral interna resulta em
.
Passo 6
Agora, vamos substituir esse resultado na integral externa e integrar em relação a
de 0 a 1:
Aqui, encontramos a antiderivada de
com relação a
.
Passo 7
Finalmente, avaliamos a antiderivada nos limites de
e
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.