Equação da Continuidade. Considere o TTR:
d Bs i s td t & =partialpartial t integralV C(rho b) d(V) & +integralS C rho b(V cdot n) d A
A lei da conservação de massa nos diz que d m sist / d t=0. Faça B=m no TTR(b=1 nesse caso), utilize o Teorema da Divergência e (a) mostre que
integralV C[partial rhopartial t+nabla cdot(rho V)] d V=0
O Teorema da Localização nos diz que se a integral de uma função contínua é sempre nula, então essa função é nula. Com isso, podemos concluir que
partial rhopartial t+nabla cdot(rho V)=0
Essa é a Equação da Continuidade, que nos dá a conservação de massa para pequenas partículas de fluido. (b) Mostre que a equação (1) pode ser reescrita como
D rhoD t+rho(nabla cdot V)=0
em que
D rhoD t=partial rhopartial t+V cdot nabla rho

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com a Equação da Continuidade, que está relacionada à conservação de massa em fluidos. Basicamente, a ideia é mostrar que a massa do sistema não está mudando ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência e outras propriedades matemáticas. Vamos precisar entender bem o que cada termo significa e como manipular as equações para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, temos que considerar a Lei da Conservação de Massa, que diz que a variação da massa do sistema no tempo é zero:
d msistd t = 0
Isso quer dizer que a massa dentro do nosso volume de controle VC não está aumentando nem diminuindo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso na Equação da TTR (Two-Term Response) fornecida:
d Bsistd t = partialpartial t integralVC (rho b) , dV + integralSC rho b (V cdot n) , dA
Como queremos trabalhar com massa, vamos definir B = m, o que implica que b = 1. Substituindo na equação:
d msistd t = partialpartial t integralVC rho , dV + integralSC rho (V cdot n) , dA
E, pela conservação de massa, sabemos que d msistd t = 0. Então:
0 = partialpartial t integralVC rho , dV + integralSC rho (V cdot n) , dA

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que nos permite transformar a integral de superfície em uma integral de volume. O teorema diz que:
integralSC rho (V cdot n) , dA = integralVC nabla cdot (rho V) , dV
Substituindo isso na equação anterior, temos:
0 = partialpartial t integralVC rho , dV + integralVC nabla cdot (rho V) , dV

Passo 5

Vamos juntar as duas integrais de volume:
0 = integralVC ( partial rhopartial t + nabla cdot (rho V) ) dV
Essa é a expressão pedida na parte (a) do exercício:
integralVC [ partial rhopartial t + nabla cdot (rho V) ] dV = 0

Passo 6

O Teorema da Localização nos diz que se a integral de uma função contínua é sempre zero em qualquer volume, então a função dentro da integral deve ser zero em todos os pontos desse volume. Portanto, podemos concluir que:
partial rhopartial t + nabla cdot (rho V) = 0
Essa é a Equação da Continuidade, que garante a conservação de massa para pequenas partículas de fluido.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). Queremos reescrever a equação da continuidade de uma forma alternativa. Primeiro, vamos lembrar da definição da Derivada Material:
D rhoD t = partial rhopartial t + V cdot nabla rho
Além disso, podemos expandir a divergência do produto rho V usando a regra do produto:
nabla cdot (rho V) = V cdot nabla rho + rho (nabla cdot V)

Passo 8

Substituindo essas expressões na Equação da Continuidade, temos:
partial rhopartial t + nabla cdot (rho V) = partial rhopartial t + V cdot nabla rho + rho (nabla cdot V) = 0
Rearranjando os termos:
partial rhopartial t + V cdot nabla rho + rho (nabla cdot V) = 0
Reconhecendo a Derivada Material:
D rhoD t + rho (nabla cdot V) = 0

Resposta

Assim, mostramos que a Equação da Continuidade pode ser reescrita como:
D rhoD t + rho (nabla cdot V) = 0
Isso confirma a conservação de massa para pequenas partículas de fluido, relacionando a variação da densidade com a divergência do campo de velocidade.

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