Equação da Continuidade. Considere o TTR:
A lei da conservação de massa nos diz que
. Faça
no
nesse caso), utilize o Teorema da Divergência e (a) mostre que
O Teorema da Localização nos diz que se a integral de uma função contínua é sempre nula, então essa função é nula. Com isso, podemos concluir que
Essa é a Equação da Continuidade, que nos dá a conservação de massa para pequenas partículas de fluido. (b) Mostre que a equação (1) pode ser reescrita como
em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com a Equação da Continuidade, que está relacionada à conservação de massa em fluidos. Basicamente, a ideia é mostrar que a massa do sistema não está mudando ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência e outras propriedades matemáticas. Vamos precisar entender bem o que cada termo significa e como manipular as equações para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, temos que considerar a Lei da Conservação de Massa, que diz que a variação da massa do sistema no tempo é zero:
Isso quer dizer que a massa dentro do nosso volume de controle
não está aumentando nem diminuindo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso na Equação da TTR (Two-Term Response) fornecida:
Como queremos trabalhar com massa, vamos definir
, o que implica que
. Substituindo na equação:
E, pela conservação de massa, sabemos que
. Então:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que nos permite transformar a integral de superfície em uma integral de volume. O teorema diz que:
Substituindo isso na equação anterior, temos:
Passo 5
Vamos juntar as duas integrais de volume:
Essa é a expressão pedida na parte (a) do exercício:
Passo 6
O Teorema da Localização nos diz que se a integral de uma função contínua é sempre zero em qualquer volume, então a função dentro da integral deve ser zero em todos os pontos desse volume. Portanto, podemos concluir que:
Essa é a Equação da Continuidade, que garante a conservação de massa para pequenas partículas de fluido.
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b). Queremos reescrever a equação da continuidade de uma forma alternativa. Primeiro, vamos lembrar da definição da Derivada Material:
Além disso, podemos expandir a divergência do produto
usando a regra do produto:
Passo 8
Substituindo essas expressões na Equação da Continuidade, temos:
Rearranjando os termos:
Reconhecendo a Derivada Material:
Resposta
Assim, mostramos que a Equação da Continuidade pode ser reescrita como:
Isso confirma a conservação de massa para pequenas partículas de fluido, relacionando a variação da densidade com a divergência do campo de velocidade.