A equação , com , e , é uma equação diferencial separável.
Qual a relação a seguir, é satisfeita pela solução da equação diferencial?
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial separável dada por , com a condição inicial , onde . Nosso objetivo é encontrar qual das alternativas apresentadas satisfaz a solução dessa equação diferencial. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais separáveis e manipular expressões algébricas para chegar à resposta correta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial separável. Uma equação diferencial é dita separável se ela pode ser escrita de forma que todos os termos contendo fiquem de um lado da equação e todos os termos contendo fiquem do outro lado. No nosso caso, a equação já está separada: .
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis. Isso significa que vamos colocar todos os termos com de um lado e os com do outro:
Passo 4
Em seguida, precisamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve uma fração parcial, pois temos dois fatores lineares no denominador. Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Para encontrar e , podemos escolher valores específicos para . Por exemplo, se :
E se :
Então, a decomposição fica:
Passo 5
Agora, podemos integrar ambos os lados:
Substituindo a decomposição:
Integrando:
Podemos simplificar:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por :
Onde é uma constante de integração.
Passo 7
Aplicando a exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos reescrever a constante como uma nova constante :
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :
Substituindo de volta:
Passo 9
Podemos rearranjar essa expressão para deixá-la mais parecida com as alternativas apresentadas:
Note que , então podemos escrever:
Resposta
A relação satisfeita pela solução da equação diferencial é a alternativa a):