A equação
, com
, e
, é uma equação diferencial separável.
Qual a relação a seguir, é satisfeita pela solução da equação diferencial?
a)
b)
c)
d)
Qual a relação a seguir, é satisfeita pela solução da equação diferencial?
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial separável dada por
, com a condição inicial
, onde
. Nosso objetivo é encontrar qual das alternativas apresentadas satisfaz a solução dessa equação diferencial. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais separáveis e manipular expressões algébricas para chegar à resposta correta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial separável. Uma equação diferencial é dita separável se ela pode ser escrita de forma que todos os termos contendo
fiquem de um lado da equação e todos os termos contendo
fiquem do outro lado. No nosso caso, a equação já está separada:
.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis. Isso significa que vamos colocar todos os termos com
de um lado e os com
do outro:
Passo 4
Em seguida, precisamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve uma fração parcial, pois temos dois fatores lineares no denominador. Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Para encontrar
e
, podemos escolher valores específicos para
. Por exemplo, se
:
E se
:
Então, a decomposição fica:
Passo 5
Agora, podemos integrar ambos os lados:
Substituindo a decomposição:
Integrando:
Podemos simplificar:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 7
Aplicando a exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos reescrever a constante
como uma nova constante
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Substituindo de volta:
Passo 9
Podemos rearranjar essa expressão para deixá-la mais parecida com as alternativas apresentadas:
Note que
, então podemos escrever:
Resposta
A relação satisfeita pela solução da equação diferencial é a alternativa a):