A equação d y/d x = k(a - y)(b - y), com y(0) = 0, e a != b, é uma equação diferencial separável.
Qual a relação a seguir, é satisfeita pela solução da equação diferencial?
a) b(a-y)/a(b-y) = e^((a-b) k x)
b) a(a-y)/(b(b-y))=e^((a-b) k x)
c) b(a-x)/(a(b-x))=e^((a-b)y)
d) (a-x)/(b-x)=e^{(b-a) y}

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial separável dada por , com a condição inicial , onde . Nosso objetivo é encontrar qual das alternativas apresentadas satisfaz a solução dessa equação diferencial. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais separáveis e manipular expressões algébricas para chegar à resposta correta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial separável. Uma equação diferencial é dita separável se ela pode ser escrita de forma que todos os termos contendo fiquem de um lado da equação e todos os termos contendo fiquem do outro lado. No nosso caso, a equação já está separada: .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis. Isso significa que vamos colocar todos os termos com de um lado e os com do outro:

Passo 4

Em seguida, precisamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve uma fração parcial, pois temos dois fatores lineares no denominador. Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Para encontrar e , podemos escolher valores específicos para . Por exemplo, se :
E se :
Então, a decomposição fica:

Passo 5

Agora, podemos integrar ambos os lados:
Substituindo a decomposição:
Integrando:
Podemos simplificar:

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por :
Onde é uma constante de integração.

Passo 7

Aplicando a exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos reescrever a constante como uma nova constante :

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :
Substituindo de volta:

Passo 9

Podemos rearranjar essa expressão para deixá-la mais parecida com as alternativas apresentadas:
Note que , então podemos escrever:

Resposta

A relação satisfeita pela solução da equação diferencial é a alternativa a):

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