A equação que descreve a variação de carga elétrica
composto por um resitor, de resistência
, e um capacitor, de capacitância
, cuja tensão (diferença de potencial) aplicada aos seus terminais é
, é dada por:
Em um circuito RC uma bateria gera uma diferença de potencial de 10 volts enquanto a resistência é de 200 ohms e a capacitância é de
farads. Encontre a carga
no capacitor em cada instante
, se
. Encontre também a corrente
em cada instante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um circuito RC, que é uma combinação de um resistor ® e um capacitor © ligados a uma bateria que fornece uma tensão constante. No seu caso, a bateria está fornecendo 10 volts, a resistência é de 200 ohms e a capacitância é de
farads. O objetivo aqui é encontrar a carga
que está acumulando no capacitor em cada instante de tempo
e também a corrente
que está passando pelo circuito. Para isso, vamos usar uma equação diferencial que relaciona esses componentes.
Passo 2
A equação que descreve a variação da carga no capacitor ao longo do tempo é dada por:
Aqui,
representa a taxa de variação da carga com o tempo, ou seja, a corrente
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que podemos resolver para encontrar
.
Passo 3
Primeiro, vamos substituir os valores conhecidos na equação. Temos:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Para facilitar, vamos dividir toda a equação por 200:
Agora, temos uma equação diferencial da forma:
onde
e
. A solução geral dessa equação é:
Passo 4
Aplicando a condição inicial
:
Simplificando:
Isso confirma que nossa solução está correta. Então, a expressão para
fica:
Simplificando ainda mais:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a corrente
. Sabemos que:
Derivando
:
Simplificando:
Resposta
A carga no capacitor em cada instante
é dada por:
E a corrente no circuito em cada instante
é:
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.
Resolva os seguintes problemas.
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.
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(a) Qual era a população inicial de esquilos?
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