A equação que descreve a variação de carga elétrica composto por um resitor, de resistência , e um capacitor, de capacitância , cuja tensão (diferença de potencial) aplicada aos seus terminais é , é dada por:
Em um circuito RC uma bateria gera uma diferença de potencial de 10 volts enquanto a resistência é de 200 ohms e a capacitância é de farads. Encontre a carga no capacitor em cada instante , se . Encontre também a corrente em cada instante .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um circuito RC, que é uma combinação de um resistor ® e um capacitor © ligados a uma bateria que fornece uma tensão constante. No seu caso, a bateria está fornecendo 10 volts, a resistência é de 200 ohms e a capacitância é de farads. O objetivo aqui é encontrar a carga que está acumulando no capacitor em cada instante de tempo e também a corrente que está passando pelo circuito. Para isso, vamos usar uma equação diferencial que relaciona esses componentes.

Passo 2

A equação que descreve a variação da carga no capacitor ao longo do tempo é dada por:
Aqui, representa a taxa de variação da carga com o tempo, ou seja, a corrente . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que podemos resolver para encontrar .

Passo 3

Primeiro, vamos substituir os valores conhecidos na equação. Temos:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Para facilitar, vamos dividir toda a equação por 200:
Agora, temos uma equação diferencial da forma:
onde e . A solução geral dessa equação é:

Passo 4

Aplicando a condição inicial :
Simplificando:
Isso confirma que nossa solução está correta. Então, a expressão para fica:
Simplificando ainda mais:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a corrente . Sabemos que:
Derivando :
Simplificando:

Resposta

A carga no capacitor em cada instante é dada por:
E a corrente no circuito em cada instante é:

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