(Oscilação Amortecidas) Para um oscilador unidimensional, como o descrito na equação acima, a resistência ao movimento dá origem a um termo adicional:
Onde
representa a resistência dissipativa e
. Encontre a equação de movimento
para os casos:
c) Raízes reais e iguais.
Sugestão: Utilizar a notação:
. Isso facilitará a escrita da equação.
c) Raízes reais e iguais.
Sugestão: Utilizar a notação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Oscilações Amortecidas! A gente tem uma equação que descreve o movimento de um oscilador unidimensional com resistência. A matéria envolve um pouco de física e equações diferenciais. Vamos precisar entender de resistência ao movimento, massas, constantes elásticas e um pouco de álgebra para resolver a equação de movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação dada:
Aqui,
é a massa,
é a constante elástica, e
é o coeficiente de resistência que depende da velocidade
.
Passo 3
Vamos colocar essa equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem. Dividindo ambos os lados por
:
Isso fica mais fácil de trabalhar e identificar os termos de amortecimento e força restauradora.
Passo 4
Agora, vamos usar a notação sugerida:
Substituindo na equação:
Aqui,
é a frequência natural do sistema sem amortecimento, e
representa o coeficiente de amortecimento.
Passo 5
Para resolver essa equação diferencial, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante que precisamos determinar. Substituindo na equação:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Essa é a equação característica da nossa equação diferencial.
Passo 6
Vamos resolver a equação característica:
O discriminante dessa equação é:
Passo 7
O caso que nos interessa é quando as raízes são reais e iguais, o que acontece quando o discriminante
:
Isso implica que
, já que
é positivo.
Passo 8
Com
, a equação característica tem duas raízes iguais:
Então, temos uma raiz dupla
.
Passo 9
Quando as raízes são reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo
:
Aqui,
e
são constantes que determinam as condições iniciais do sistema.
Resposta
A equação de movimento para o caso de raízes reais e iguais é: