(Oscilação Amortecidas) Para um oscilador unidimensional, como o descrito na equação acima, a resistência ao movimento dá origem a um termo adicional:
m * d²x/dt² = -k * x - ρ * dx/dt
Onde rho * x_dot representa a resistência dissipativa e rho > 0. Encontre a equação de movimento x(t) para os casos:
c) Raízes reais e iguais.
Sugestão: Utilizar a notação: k/m = omega_0^2 e b/m = 2 gamma. Isso facilitará a escrita da equação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Oscilações Amortecidas! A gente tem uma equação que descreve o movimento de um oscilador unidimensional com resistência. A matéria envolve um pouco de física e equações diferenciais. Vamos precisar entender de resistência ao movimento, massas, constantes elásticas e um pouco de álgebra para resolver a equação de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação dada:
Aqui, é a massa, é a constante elástica, e é o coeficiente de resistência que depende da velocidade .

Passo 3

Vamos colocar essa equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem. Dividindo ambos os lados por :
Isso fica mais fácil de trabalhar e identificar os termos de amortecimento e força restauradora.

Passo 4

Agora, vamos usar a notação sugerida:
Substituindo na equação:
Aqui, é a frequência natural do sistema sem amortecimento, e representa o coeficiente de amortecimento.

Passo 5

Para resolver essa equação diferencial, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante que precisamos determinar. Substituindo na equação:
Dividindo por (que nunca é zero):
Essa é a equação característica da nossa equação diferencial.

Passo 6

Vamos resolver a equação característica:
O discriminante dessa equação é:

Passo 7

O caso que nos interessa é quando as raízes são reais e iguais, o que acontece quando o discriminante :
Isso implica que , já que é positivo.

Passo 8

Com , a equação característica tem duas raízes iguais:
Então, temos uma raiz dupla .

Passo 9

Quando as raízes são reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo :
Aqui, e são constantes que determinam as condições iniciais do sistema.

Resposta

A equação de movimento para o caso de raízes reais e iguais é:

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