Resolva os seguintes problemas.
b) Uma mola com massa de 2 Kg tem uma constante de amortecimento 14 , e uma força de 6 N é necessária para manter a mola esticada
além de seu comprimento natural. A mola é esticada 1 m além de seu comprimento natural e então solta com velocidade zero. Determine a posição da massa em qualquer instante
.
b) Uma mola com massa de 2 Kg tem uma constante de amortecimento 14 , e uma força de 6 N é necessária para manter a mola esticada
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma mola com massa de 2 kg e uma constante de amortecimento de 14 Ns/m. Além disso, sabemos que é necessário aplicar uma força de 6 N para manter a mola esticada 0,5 metros além do seu comprimento natural. O problema nos pede para determinar a posição da massa em qualquer instante de tempo
após esticarmos a mola 1 metro e soltarmos ela com velocidade zero. Vamos precisar usar conceitos de sistemas massa-mola com amortecimento e resolver uma equação diferencial para encontrar a posição
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a constante elástica da mola, que é representada por
. Sabemos que a força
necessária para esticar a mola é 6 N para uma extensão
de 0,5 m. A relação entre força e deslocamento em uma mola é dada pela Lei de Hooke:
Então, podemos rearranjar para encontrar
:
Passo 3
Agora, vamos montar a equação do movimento para o sistema massa-mola com amortecimento. A equação diferencial que descreve esse sistema é:
Onde:
-
(massa) -
(constante de amortecimento) -
(constante elástica)
Substituindo os valores, temos:
Passo 4
Vamos resolver essa equação diferencial caracterizando-a. Primeiro, encontramos as raízes da equação característica associada:
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Resolvendo a equação quadrática:
Isso nos dá duas raízes:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 6
Aplicamos as condições iniciais fornecidas:
- Quando
, a posição :
- A velocidade inicial é zero, ou seja,
:
Então:
Passo 7
Substituímos
na primeira equação
:
Então:
Passo 8
Agora que temos os valores de
e
, substituímos de volta na solução geral:
Resposta
A posição da massa em qualquer instante
é dada por:
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. Encontre também a corrente
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.
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(a) Qual era a população inicial de esquilos?
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