Resolva os seguintes problemas.
b) Uma mola com massa de 2 Kg tem uma constante de amortecimento 14 , e uma força de 6 N é necessária para manter a mola esticada além de seu comprimento natural. A mola é esticada 1 m além de seu comprimento natural e então solta com velocidade zero. Determine a posição da massa em qualquer instante .

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma mola com massa de 2 kg e uma constante de amortecimento de 14 Ns/m. Além disso, sabemos que é necessário aplicar uma força de 6 N para manter a mola esticada 0,5 metros além do seu comprimento natural. O problema nos pede para determinar a posição da massa em qualquer instante de tempo após esticarmos a mola 1 metro e soltarmos ela com velocidade zero. Vamos precisar usar conceitos de sistemas massa-mola com amortecimento e resolver uma equação diferencial para encontrar a posição .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a constante elástica da mola, que é representada por . Sabemos que a força necessária para esticar a mola é 6 N para uma extensão de 0,5 m. A relação entre força e deslocamento em uma mola é dada pela Lei de Hooke:
Então, podemos rearranjar para encontrar :

Passo 3

Agora, vamos montar a equação do movimento para o sistema massa-mola com amortecimento. A equação diferencial que descreve esse sistema é:
Onde:
  • (massa)
  • (constante de amortecimento)
  • (constante elástica)
Substituindo os valores, temos:

Passo 4

Vamos resolver essa equação diferencial caracterizando-a. Primeiro, encontramos as raízes da equação característica associada:
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Resolvendo a equação quadrática:
Isso nos dá duas raízes:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais fornecidas:
  1. Quando , a posição :
  1. A velocidade inicial é zero, ou seja, :
Então:

Passo 7

Substituímos na primeira equação :
Então:

Passo 8

Agora que temos os valores de e , substituímos de volta na solução geral:

Resposta

A posição da massa em qualquer instante é dada por:

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