(b) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais dessa função. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar onde a função atinge esses pontos de máximo e mínimo.
Passo 2
Primeiro, para encontrar os pontos máximos e mínimos, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos diz a taxa de variação da função, ou seja, como ela está subindo ou descendo em cada ponto.
A função é:
Vamos derivar cada termo separadamente:
- A derivada de
em relação a é , porque aplicamos a regra da cadeia (a derivada de é , onde e ). - A derivada de
em relação a é , novamente usando a regra da cadeia (a derivada de é , onde e ).
Então, a derivada da função
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos onde a função tem máximos ou mínimos, precisamos encontrar onde a derivada é igual a zero, ou seja, resolver a equação:
Vamos resolver essa equação:
Podemos multiplicar ambos os lados por
para simplificar:
Agora, isolamos
:
Para solucionar para
, tiramos o logaritmo natural dos dois lados:
Então, encontramos que
é o ponto crítico onde a derivada é zero.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou um mínimo, podemos usar o teste da segunda derivada. Vamos calcular a segunda derivada de
:
A primeira derivada é:
Derivando novamente:
Agora, substituímos
na segunda derivada:
Como
e
são ambos positivos,
. Isso significa que a concavidade da função nesse ponto é para cima, indicando que temos um mínimo local.
Resposta
A função
tem um mínimo local no ponto
. Não há máximos locais para essa função.
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(Oscilação Amortecidas) Para um oscilador unidimensional, como o descrito na equação acima, a resistência ao movimento dá origem a um termo adicional:
Onde
representa a resistência dissipativa e
. Encontre a equação de movimento
para os casos:
a) Raizes complexas;
a) Raizes complexas;
A equação que descreve a variação de carga elétrica
composto por um resitor, de resistência
, e um capacitor, de capacitância
, cuja tensão (diferença de potencial) aplicada aos seus terminais é
, é dada por:
Em um circuito RC uma bateria gera uma diferença de potencial de 10 volts enquanto a resistência é de 200 ohms e a capacitância é de
farads. Encontre a carga
no capacitor em cada instante
, se
. Encontre também a corrente
em cada instante
.