(b) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais dessa função. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar onde a função atinge esses pontos de máximo e mínimo.

Passo 2

Primeiro, para encontrar os pontos máximos e mínimos, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos diz a taxa de variação da função, ou seja, como ela está subindo ou descendo em cada ponto.
A função é:
Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. A derivada de em relação a é , porque aplicamos a regra da cadeia (a derivada de é , onde e ).
  2. A derivada de em relação a é , novamente usando a regra da cadeia (a derivada de é , onde e ).
Então, a derivada da função é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos onde a função tem máximos ou mínimos, precisamos encontrar onde a derivada é igual a zero, ou seja, resolver a equação:
Vamos resolver essa equação:
Podemos multiplicar ambos os lados por para simplificar:
Agora, isolamos :
Para solucionar para , tiramos o logaritmo natural dos dois lados:
Então, encontramos que é o ponto crítico onde a derivada é zero.

Passo 4

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou um mínimo, podemos usar o teste da segunda derivada. Vamos calcular a segunda derivada de :
A primeira derivada é:
Derivando novamente:
Agora, substituímos na segunda derivada:
Como e são ambos positivos, . Isso significa que a concavidade da função nesse ponto é para cima, indicando que temos um mínimo local.

Resposta

A função tem um mínimo local no ponto . Não há máximos locais para essa função.

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