Para a equação diferencial
resolva o problema de valor inicial com cada uma das condições iniciais encontrando, em cada caso, o intervalo máximo de definição da solução:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Então, a gente tem aqui uma equação diferencial do tipo:
E precisamos resolver esse problema de valor inicial para duas condições diferentes: quando
e quando
. Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais, especificamente equações separáveis, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa equação é separável, ou seja, conseguimos separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação. Isso facilita bastante a resolução. A ideia é reescrever a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro.
Passo 3
Vamos começar dividindo os dois lados da equação por
e multiplicando por
:
Agora, temos as variáveis separadas.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. A gente integra o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
Passo 5
Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
Passo 6
Agora, a integral do lado direito. Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, então
, ou seja,
. Substituindo na integral:
Passo 7
Igualando as duas integrais, temos:
Vamos resolver para
:
Onde
é uma constante ajustada.
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante
. Vamos começar com o caso a)
:
Quando ,
:
Quando
Passo 9
Substituindo
na expressão:
Vamos simplificar:
Invertendo para encontrar
:
Como
é positivo, consideramos apenas a solução positiva.
Passo 10
Agora, precisamos determinar o intervalo máximo de definição da solução. A expressão dentro da raiz quadrada no denominador deve ser positiva:
Então, o intervalo máximo de definição é
.
Passo 11
Vamos aplicar a mesma metodologia para o caso
.
Passo 12
Voltando à expressão geral:
Aplicando
:
Isso implica que
é infinito, o que não faz sentido matematicamente. Portanto, não existe uma solução que atenda a essa condição inicial.
Resposta
b) Não existe solução que satisfaça a condição inicial
.
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial
e faça um esboço da família das soluções encontrada. Para cada uma das condições iniciais abaixo, resolva o problema de valor inicial correspondente, encontrando o intervalo máximo de definição da solução:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Dê o domínio da funcão
.
(2,0): Use o Teorema de Green para calcular a área do quadrilátero com vértices nos pontos
e
.
Mostre que as funções
e
são ambas soluções do PVI