Para a equação diferencial
(1+x^2)^(1/2) dy/dx = x y^3
resolva o problema de valor inicial com cada uma das condições iniciais encontrando, em cada caso, o intervalo máximo de definição da solução:
a) y(0) = 2
b) y(0) = 0

Passo 1

Então, a gente tem aqui uma equação diferencial do tipo:
E precisamos resolver esse problema de valor inicial para duas condições diferentes: quando e quando . Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais, especificamente equações separáveis, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa equação é separável, ou seja, conseguimos separar as variáveis e em lados diferentes da equação. Isso facilita bastante a resolução. A ideia é reescrever a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro.

Passo 3

Vamos começar dividindo os dois lados da equação por e multiplicando por :
Agora, temos as variáveis separadas.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. A gente integra o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :

Passo 5

Vamos resolver a integral do lado esquerdo:

Passo 6

Agora, a integral do lado direito. Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja , então , ou seja, . Substituindo na integral:

Passo 7

Igualando as duas integrais, temos:
Vamos resolver para :
Onde é uma constante ajustada.

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante . Vamos começar com o caso a) :
Quando , :

Passo 9

Substituindo na expressão:
Vamos simplificar:
Invertendo para encontrar :
Como é positivo, consideramos apenas a solução positiva.

Passo 10

Agora, precisamos determinar o intervalo máximo de definição da solução. A expressão dentro da raiz quadrada no denominador deve ser positiva:
Então, o intervalo máximo de definição é .

Passo 11

Vamos aplicar a mesma metodologia para o caso .

Passo 12

Voltando à expressão geral:
Aplicando :
Isso implica que é infinito, o que não faz sentido matematicamente. Portanto, não existe uma solução que atenda a essa condição inicial.

Resposta

b) Não existe solução que satisfaça a condição inicial .

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