Resolver as seguintes equações de Bernoulli:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de Bernoulli que nos foi dada:
Aqui, estamos lidando com uma equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que transforme essa equação não linear em uma equação linear mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para deixá-la na forma padrão de Bernoulli. Movendo o termo
para o lado esquerdo, temos:
Agora, identificamos:
Passo 3
A próxima etapa é fazer uma substituição para simplificar a equação. Definimos:
Isso significa que
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Rearranjando, obtemos:
Passo 5
Substituindo
na equação original:
Dividindo todos os termos por
:
Lembrando que
, substituímos:
Passo 6
Rearranjando a equação para a forma padrão de uma equação linear:
Agora, temos uma equação linear em
que podemos resolver usando o fator integrante.
Passo 7
Calcular o fator integrante
:
Passo 8
Multiplicamos toda a equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 9
Integrando ambos os lados em relação a
:
Para resolver a integral, fazemos a substituição
, então
. Isso simplifica a integral para:
Passo 10
Voltando para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 11
Lembrando que
, substituímos de volta:
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: