Resolver as seguintes equações de Bernoulli: y' = x^3 y^2 + x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de Bernoulli que nos foi dada:
Aqui, estamos lidando com uma equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que transforme essa equação não linear em uma equação linear mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para deixá-la na forma padrão de Bernoulli. Movendo o termo para o lado esquerdo, temos:
Agora, identificamos:

Passo 3

A próxima etapa é fazer uma substituição para simplificar a equação. Definimos:
Isso significa que .

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a :
Rearranjando, obtemos:

Passo 5

Substituindo na equação original:
Dividindo todos os termos por :
Lembrando que , substituímos:

Passo 6

Rearranjando a equação para a forma padrão de uma equação linear:
Agora, temos uma equação linear em que podemos resolver usando o fator integrante.

Passo 7

Calcular o fator integrante :

Passo 8

Multiplicamos toda a equação por :
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 9

Integrando ambos os lados em relação a :
Para resolver a integral, fazemos a substituição , então . Isso simplifica a integral para:

Passo 10

Voltando para :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 11

Lembrando que , substituímos de volta:
Finalmente, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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