A equação diferencial
é uma equação de Riccati.
Mostre que, se
, a equação é linear, e se
, a equação é uma equação de Bernoulli.
é uma equação de Riccati.
Mostre que, se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
Essa é conhecida como equação de Riccati. Nosso objetivo aqui é mostrar duas coisas:
- Se
, a equação se torna linear. - Se
, a equação vira uma equação de Bernoulli.
Para isso, vamos lembrar um pouco sobre o que são essas equações e como podemos identificar cada uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que acontece quando
. Substituindo na equação original:
Essa nova equação tem a forma:
Onde
e
. Essa é a forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Ou seja, quando
é zero, a equação de Riccati se transforma em uma equação linear, que é mais fácil de resolver usando métodos conhecidos, como o fator integrante.
Passo 3
Agora, vamos analisar o caso quando
. Substituindo na equação original:
Podemos reescrever essa equação como:
Isso se assemelha à forma geral de uma equação de Bernoulli, que é:
No nosso caso, se rearranjarmos, temos:
Aqui,
, o que caracteriza uma equação de Bernoulli. Esse tipo de equação é não linear, mas pode ser transformado em uma equação linear através de uma substituição adequada, facilitando sua resolução.
Resposta
Concluímos que:
- Se
, a equação diferencial dada é linear. - Se
, a equação se torna uma equação de Bernoulli.