A equação diferencial
d y/d x = A(x) y^2 + B(x) y + C(x)
é uma equação de Riccati.
Mostre que, se A(x) = 0, a equação é linear, e se C(x) = 0, a equação é uma equação de Bernoulli.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
Essa é conhecida como equação de Riccati. Nosso objetivo aqui é mostrar duas coisas:
  1. Se , a equação se torna linear.
  2. Se , a equação vira uma equação de Bernoulli.
Para isso, vamos lembrar um pouco sobre o que são essas equações e como podemos identificar cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece quando . Substituindo na equação original:
Essa nova equação tem a forma:
Onde e . Essa é a forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Ou seja, quando é zero, a equação de Riccati se transforma em uma equação linear, que é mais fácil de resolver usando métodos conhecidos, como o fator integrante.

Passo 3

Agora, vamos analisar o caso quando . Substituindo na equação original:
Podemos reescrever essa equação como:
Isso se assemelha à forma geral de uma equação de Bernoulli, que é:
No nosso caso, se rearranjarmos, temos:
Aqui, , o que caracteriza uma equação de Bernoulli. Esse tipo de equação é não linear, mas pode ser transformado em uma equação linear através de uma substituição adequada, facilitando sua resolução.

Resposta

Concluímos que:
  • Se , a equação diferencial dada é linear.
  • Se , a equação se torna uma equação de Bernoulli.

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