(a) A equação diferencial que descreve o movimento, explicitando os valores numéricos dos coeficientes e indicando suas respectivas unidades;
(b) A amplitude do movimento;
© Em que instantes a elongação, em módulo, é máxima.
Subitamente, a força externa é desligada, num instante em que a elongação é máxima. Determine, para esta nova situação:
(d) A equação diferencial que descreve o movimento, explicitando os valores numéricos dos coeficientes e indicando suas respectivas unidades;
(e) A frequência angular de oscilação omega^prime.
R.: (a) ddotx+5 dotx+400 x=5 cos (20 t);
(b) A=0,05 m;
© t=(2 n+1) pi40 s.
(d) ddotx+5 dotx+400 x=0;
(e) omega^prime=19,84 s^-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de equações diferenciais aplicadas ao movimento oscilatório. Para resolver, vamos precisar entender como modelar o movimento com uma equação diferencial, calcular a amplitude da oscilação, determinar os instantes em que a elongação é máxima e, depois que a força externa é desligada, ajustar a equação e encontrar a nova frequência angular.

Passo 2

Parte (a): Escrevendo a equação diferencial do movimento
Primeiro, vamos lembrar que o movimento oscilatório sujeito a uma força externa pode ser descrito por uma equação diferencial do tipo:
ddotx + 2gamma dotx + omega0^2 x = F(t)
Aqui:
  • ddotx é a aceleração,
  • dotx é a velocidade,
  • 2gamma representa o coeficiente de amortecimento,
  • omega0 é a frequência natural do sistema,
  • F(t) é a força externa aplicada.
No nosso caso, a força externa é 5 cos(20 t), então substituindo na equação, temos:
ddotx + 5 dotx + 400 x = 5 cos(20 t)
Unidades dos coeficientes:
  • ddotx tem unidades de m/s^2,
  • dotx tem unidades de m/s,
  • x tem unidades de m,
  • A força 5 cos(20 t) está em unidades que equilibram a equação, presumivelmente em m/s^2 se todas as outras unidades são consistentes.

Passo 3

Parte (b): Calculando a amplitude do movimento
A amplitude A de um movimento oscilatório forçado é dada por:
A = F0raiz(omega0^2 - omega^2)^2 + (2gamma omega)^2
Onde:
  • F0 é a amplitude da força externa,
  • omega0 é a frequência natural,
  • omega é a frequência da força externa,
  • gamma é o coeficiente de amortecimento.
Substituindo os valores:
  • F0 = 5,
  • omega0 = raiz400 = 20 , s^-1,
  • omega = 20 , s^-1,
  • gamma = 2.5 (já que 2gamma = 5).
Então:
A = 5raiz(20^2 - 20^2)^2 + (2 times 2.5 times 20)^2 = 5raiz0 + (100)^2 = 5100 = 0,05 , m

Passo 4

Parte ©: Determinando os instantes de máxima elongação
A elongação atinge seu máximo quando a força externa está em fase com o movimento do sistema. Isso acontece quando o argumento do cosseno na solução da equação diferencial coincide com os múltiplos ímpares de pi. Assim, os instantes em que a elongação é máxima são dados por:
t = (2n + 1)pi2omega
Substituindo omega = 20:
t = (2n + 1)pi40 , s, n in N

Passo 5

Parte (d): Equação diferencial após desligar a força externa
Quando a força externa é desligada, a equação diferencial fica sem o termo de força. Assim, a nova equação é:
ddotx + 5 dotx + 400 x = 0
Unidades dos coeficientes:
Mantém-se as mesmas:
  • ddotx em m/s^2,
  • dotx em m/s,
  • x em m.

Passo 6

Parte (e): Calculando a nova frequência angular omega'
Após desligar a força externa, o sistema sofre amortecimento. A frequência angular amortecida omega' é dada por:
omega' = raizomega0^2 - gamma^2
Onde:
  • omega0 = 20 , s^-1,
  • gamma = 2.5 , s^-1.
Então:
omega' = raiz20^2 - 2.5^2 = raiz400 - 6.25 = raiz393.75 approx 19,84 , s^-1

Resposta

(a) ddotx+5 dotx+400 x=5 cos (20 t);
(b) A=0,05 m;
© t=(2 n+1) pi40 s;
(d) ddotx+5 dotx+400 x=0;
(e) omega^prime=19,84 s^-1.

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