(a) A equação diferencial que descreve o movimento, explicitando os valores numéricos dos coeficientes e indicando suas respectivas unidades;
(b) A amplitude do movimento;
© Em que instantes a elongação, em módulo, é máxima.
Subitamente, a força externa é desligada, num instante em que a elongação é máxima. Determine, para esta nova situação:
(d) A equação diferencial que descreve o movimento, explicitando os valores numéricos dos coeficientes e indicando suas respectivas unidades;
(e) A frequência angular de oscilação
.
R.: (a)
;
(b)
;
©
.
(d)
;
(e)
.
(b) A amplitude do movimento;
© Em que instantes a elongação, em módulo, é máxima.
Subitamente, a força externa é desligada, num instante em que a elongação é máxima. Determine, para esta nova situação:
(d) A equação diferencial que descreve o movimento, explicitando os valores numéricos dos coeficientes e indicando suas respectivas unidades;
(e) A frequência angular de oscilação
R.: (a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de equações diferenciais aplicadas ao movimento oscilatório. Para resolver, vamos precisar entender como modelar o movimento com uma equação diferencial, calcular a amplitude da oscilação, determinar os instantes em que a elongação é máxima e, depois que a força externa é desligada, ajustar a equação e encontrar a nova frequência angular.
Passo 2
Parte (a): Escrevendo a equação diferencial do movimento
Primeiro, vamos lembrar que o movimento oscilatório sujeito a uma força externa pode ser descrito por uma equação diferencial do tipo:
Aqui:
-
é a aceleração, -
é a velocidade, -
representa o coeficiente de amortecimento, -
é a frequência natural do sistema, -
é a força externa aplicada.
No nosso caso, a força externa é
, então substituindo na equação, temos:
Unidades dos coeficientes:
-
tem unidades de , -
tem unidades de , -
tem unidades de , - A força
está em unidades que equilibram a equação, presumivelmente em se todas as outras unidades são consistentes.
Passo 3
Parte (b): Calculando a amplitude do movimento
A amplitude
de um movimento oscilatório forçado é dada por:
Onde:
-
é a amplitude da força externa, -
é a frequência natural, -
é a frequência da força externa, -
é o coeficiente de amortecimento.
Substituindo os valores:
-
, -
, -
, -
(já que ).
Então:
Passo 4
Parte ©: Determinando os instantes de máxima elongação
A elongação atinge seu máximo quando a força externa está em fase com o movimento do sistema. Isso acontece quando o argumento do cosseno na solução da equação diferencial coincide com os múltiplos ímpares de
. Assim, os instantes em que a elongação é máxima são dados por:
Substituindo
:
Passo 5
Parte (d): Equação diferencial após desligar a força externa
Quando a força externa é desligada, a equação diferencial fica sem o termo de força. Assim, a nova equação é:
Unidades dos coeficientes:
Mantém-se as mesmas:
Mantém-se as mesmas:
-
em , -
em , -
em .
Passo 6
Parte (e): Calculando a nova frequência angular
Após desligar a força externa, o sistema sofre amortecimento. A frequência angular amortecida
é dada por:
Onde:
-
, -
.
Então:
Resposta
(a)
;
(b)
;
©
;
(d)
;
(e)
.