Os raios dos condutores interno e externo de um cabo coaxial são 2 cm e 5 cm , respectivamente, e o material entre eles tem uma permissividade relativa de 4 . A densidade de carga no condutor externo é rhol=10^-4(C / m). Use a expressão para E deduzida no Exemplo 4-12 para calcular a energia total armazenada em um cabo de 20 cm de comprimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de um cabo coaxial, que é tipo aqueles cabos usados para TV a cabo ou internet. A gente precisa calcular a energia total armazenada nesse cabo. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a energia armazenada no campo elétrico. Vamos precisar entender como o campo elétrico se comporta entre os condutores interno e externo e usar algumas fórmulas da física que envolvem permissividade e densidade de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Raio do condutor interno, $ r_{in} = 2 , cm = 0,02 , m $
  • Raio do condutor externo, $ r_{out} = 5 , cm = 0,05 , m $
  • Permissividade relativa, $ \varepsilon_r = 4 $
  • Densidade de carga linear no condutor externo, $ \rho_l = 10^{-4} , C/m $
  • Comprimento do cabo, $ L = 20 , cm = 0,2 , m $

Passo 3

Sabemos que a energia armazenada no campo elétrico de um sistema é dada por:
U = 12 integral varepsilon E^2 , dV
No caso do cabo coaxial, o campo elétrico $ \mathbf{E} $ está apenas na região entre os dois condutores (entre $ r_{in} $ e $ r_{out} $) e aponta radialmente. A permissividade do material é $ \varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0 $, onde $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo ($ \varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} , F/m $).

Passo 4

Primeiro, precisamos encontrar a expressão para o campo elétrico $ E® $ no cabo coaxial. Usando a Lei de Gauss, temos:
E(r)
onde $ r $ é a distância radial do condutor interno.

Passo 5

Agora, substituímos $ E® $ na fórmula da energia:
E(r)
Simplificando a expressão:
U = 12 varepsilon integralrin^rout ( rhol2pi varepsilon r )^2 cdot 2pi r L , dr
U = 12 varepsilon cdot rhol^24pi^2 varepsilon^2 cdot 2pi L integralrin^rout 1r , dr

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores numéricos na equação:
U = (10^-4)^2 times 0,24pi times 4 times 8,85 times 10^-12 ln( 0,050,02 )
Calculando passo a passo:
  • $ \rho_l^2 = (10{-4})2 = 10^{-8} $
  • $ 4\pi \varepsilon = 4 \times \pi \times 4 \times 8,85 \times 10^{-12} \approx 4 \times 3,1416 \times 4 \times 8,85 \times 10^{-12} $
  • $ \ln\left( \frac{0,05}{0,02} \right) = \ln(2,5) \approx 0,9163 $

Passo 7

Continuando os cálculos:
U = 10^-8 times 0,24 times 3,1416 times 4 times 8,85 times 10^-12 times 0,9163
U = 2 times 10^-94 times 3,1416 times 4 times 8,85 times 10^-12 times 0,9163
U = 2 times 10^-94 times 3,1416 times 4 times 8,85 times 10^-12 times 0,9163 approx 2 times 10^-94,449 times 10^-10 times 0,9163
U approx 4,494 times 0,9163 approx 4,12 , J

Resposta

A energia total armazenada no cabo coaxial é aproximadamente $ 4,12 , J $.

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