Os raios dos condutores interno e externo de um cabo coaxial são 2 cm e 5 cm , respectivamente, e o material entre eles tem uma permissividade relativa de 4 . A densidade de carga no condutor externo é
. Use a expressão para
deduzida no Exemplo 4-12 para calcular a energia total armazenada em um cabo de 20 cm de comprimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de um cabo coaxial, que é tipo aqueles cabos usados para TV a cabo ou internet. A gente precisa calcular a energia total armazenada nesse cabo. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a energia armazenada no campo elétrico. Vamos precisar entender como o campo elétrico se comporta entre os condutores interno e externo e usar algumas fórmulas da física que envolvem permissividade e densidade de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Raio do condutor interno, $ r_{in} = 2 , cm = 0,02 , m $
- Raio do condutor externo, $ r_{out} = 5 , cm = 0,05 , m $
- Permissividade relativa, $ \varepsilon_r = 4 $
- Densidade de carga linear no condutor externo, $ \rho_l = 10^{-4} , C/m $
- Comprimento do cabo, $ L = 20 , cm = 0,2 , m $
Passo 3
Sabemos que a energia armazenada no campo elétrico de um sistema é dada por:
No caso do cabo coaxial, o campo elétrico $ \mathbf{E} $ está apenas na região entre os dois condutores (entre $ r_{in} $ e $ r_{out} $) e aponta radialmente. A permissividade do material é $ \varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0 $, onde $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo ($ \varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} , F/m $).
Passo 4
Primeiro, precisamos encontrar a expressão para o campo elétrico $ E® $ no cabo coaxial. Usando a Lei de Gauss, temos:
onde $ r $ é a distância radial do condutor interno.
Passo 5
Agora, substituímos $ E® $ na fórmula da energia:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores numéricos na equação:
Calculando passo a passo:
- $ \rho_l^2 = (10{-4})2 = 10^{-8} $
- $ 4\pi \varepsilon = 4 \times \pi \times 4 \times 8,85 \times 10^{-12} \approx 4 \times 3,1416 \times 4 \times 8,85 \times 10^{-12} $
- $ \ln\left( \frac{0,05}{0,02} \right) = \ln(2,5) \approx 0,9163 $
Passo 7
Continuando os cálculos:
Resposta
A energia total armazenada no cabo coaxial é aproximadamente $ 4,12 , J $.