Uma equação diferencial da forma
com
, pode ser reduzida a uma equação com variáveis separáveis por meio da substituição
Use este procedimento para resolver as equações abaixo.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo
. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição que transforma a equação em uma que a gente consegue separar as variáveis. Isso envolve entender um pouquinho sobre equações diferenciais de primeira ordem e substituições para simplificar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a substituição que vai facilitar nossa vida. A dica do exercício sugere usar:
No nosso caso, a equação é
, então podemos escolher:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
. Se
, então:
Mas sabemos que
, então substituindo:
Passo 4
A equação que temos agora é:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem e podemos resolvê-la usando um fator integrante. A forma geral é:
No nosso caso,
e
.
Passo 5
Vamos encontrar o fator integrante
:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados:
O lado esquerdo se torna:
E o lado direito:
Então:
Passo 7
Vamos resolver para
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 8
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.