Uma equação diferencial da forma
d y/d x = f(a x + b y + c)
com b != 0, pode ser reduzida a uma equação com variáveis separáveis por meio da substituição
u = a x + b y + c
Use este procedimento para resolver as equações abaixo.
b) d/y = 2(x+y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo . Para resolver isso, vamos usar o método de substituição que transforma a equação em uma que a gente consegue separar as variáveis. Isso envolve entender um pouquinho sobre equações diferenciais de primeira ordem e substituições para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a substituição que vai facilitar nossa vida. A dica do exercício sugere usar:
No nosso caso, a equação é , então podemos escolher:
Aqui, , e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a . Se , então:
Mas sabemos que , então substituindo:

Passo 4

A equação que temos agora é:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem e podemos resolvê-la usando um fator integrante. A forma geral é:
No nosso caso, e .

Passo 5

Vamos encontrar o fator integrante :
Multiplicando toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados:
O lado esquerdo se torna:
E o lado direito:
Então:

Passo 7

Vamos resolver para :
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 8

Finalmente, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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