Resolva o problema de valor inicial.
a) (e^(-y)+1) * x * dx = (1+cos(x)) * dy, y(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é uma equação diferencial com uma condição inicial: , e sabemos que . O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais e técnicas de separação de variáveis para resolver esse tipo de problema. Precisaremos manipular a equação para separar as variáveis x e y e depois integrar ambos os lados para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar separar as variáveis x e y. A equação dada é:
Nosso objetivo é ter todas as expressões com x de um lado e todas com y do outro. Para isso, podemos dividir ambos os lados por :
Mas isso ainda não está totalmente separado. Então, vamos reorganizar para:
O que simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos realmente separar as variáveis. Reorganizando a equação:
Dessa forma, temos todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro lado. Agora, podemos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral.

Passo 4

Vamos integrar o lado esquerdo em relação a y:
Para simplificar essa integração, fazemos a substituição , então . Adaptando isso, podemos reescrever a integral e resolver:
Essa integral pode ser resolvida utilizando frações parciais, resultando em:
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos integrar o lado direito em relação a x:
Para resolver essa integral, podemos usar uma identidade trigonométrica para simplificar o denominador. Sabemos que:
Substituindo na integral:
Fazendo a substituição , então , e a integral se torna:
Integrando por partes, obtemos:
Voltando à variável original:

Passo 6

Agora, juntamos as integrais dos dois lados:
Para simplificar, podemos resolver para C usando a condição inicial .
Substituindo x = 0 e :
Então, .

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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