Beleza, vamos lá! O problema que temos é uma equação diferencial com uma condição inicial: , e sabemos que . O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais e técnicas de separação de variáveis para resolver esse tipo de problema. Precisaremos manipular a equação para separar as variáveis e e depois integrar ambos os lados para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar separar as variáveis e . A equação dada é:
Nosso objetivo é ter todas as expressões com de um lado e todas com do outro. Para isso, podemos dividir ambos os lados por :
Mas isso ainda não está totalmente separado. Então, vamos reorganizar para:
O que simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos realmente separar as variáveis. Reorganizando a equação:
Dessa forma, temos todos os termos com de um lado e todos os termos com do outro lado. Agora, podemos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral.
Passo 4
Vamos integrar o lado esquerdo em relação a :
Para simplificar essa integração, fazemos a substituição , então . Adaptando isso, podemos reescrever a integral e resolver:
Essa integral pode ser resolvida utilizando frações parciais, resultando em:
Onde C é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos integrar o lado direito em relação a x:
Para resolver essa integral, podemos usar uma identidade trigonométrica para simplificar o denominador. Sabemos que:
Substituindo na integral:
Fazendo a substituição , então , e a integral se torna:
Integrando por partes, obtemos:
Voltando à variável original:
Passo 6
Agora, juntamos as integrais dos dois lados:
Para simplificar, podemos resolver para C usando a condição inicial .