Uma equação diferencial da forma
com
, pode ser reduzida a uma equação com variáveis separáveis por meio da substituição
Use este procedimento para resolver as equações abaixo.
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. A matéria que estamos mexendo aqui é equações diferenciais, especificamente utilizando o método de substituição para tornar a equação separável. Para isso, vamos precisar aplicar uma substituição que simplifique a equação original.
Passo 2
A equação dada é
. Vamos reescrever isso para identificar
,
e
na forma geral
. Aqui, podemos ver que
,
e
, porque a equação fica
.
Passo 3
Agora, vamos fazer a substituição sugerida:
. Substituindo os valores que identificamos, temos:
Essa substituição vai nos ajudar a transformar a equação original em uma equação com variáveis separáveis.
Passo 4
Precisamos encontrar
para substituir na equação diferencial. Derivando
em relação a
, temos:
Mas sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, temos uma nova equação diferencial em termos de
:
Essa equação é linear e podemos resolver separando as variáveis. Vamos reescrevê-la para separar
e
:
Passo 6
Integrando ambos os lados, temos:
As integrais resultam em:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Onde reescrevemos
como uma nova constante
.
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Isolando
, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
é uma constante arbitrária.