Uma equação diferencial da forma
d y/d x = f(a x + b y + c)
com b != 0, pode ser reduzida a uma equação com variáveis separáveis por meio da substituição
u = a x + b y + c
Use este procedimento para resolver as equações abaixo.
e) d/y = x + y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . A matéria que estamos mexendo aqui é equações diferenciais, especificamente utilizando o método de substituição para tornar a equação separável. Para isso, vamos precisar aplicar uma substituição que simplifique a equação original.

Passo 2

A equação dada é . Vamos reescrever isso para identificar , e na forma geral . Aqui, podemos ver que , e , porque a equação fica .

Passo 3

Agora, vamos fazer a substituição sugerida: . Substituindo os valores que identificamos, temos:
Essa substituição vai nos ajudar a transformar a equação original em uma equação com variáveis separáveis.

Passo 4

Precisamos encontrar para substituir na equação diferencial. Derivando em relação a , temos:
Mas sabemos que , então:

Passo 5

Agora, temos uma nova equação diferencial em termos de :
Essa equação é linear e podemos resolver separando as variáveis. Vamos reescrevê-la para separar e :

Passo 6

Integrando ambos os lados, temos:
As integrais resultam em:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos resolver para :
Onde reescrevemos como uma nova constante .

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:
Isolando , temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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