Resolva a equação diferencial da forma y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x), usando o método da variação de parâmetros.
c) y'' = e^(3x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem não homogênea. Para resolver isso, precisamos encontrar duas partes: a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Vamos precisar usar integrais e um pouco de teoria sobre equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução da equação homogênea associada, que é . Resolver a equação homogênea é importante porque ela nos dá a base para construir a solução geral.
Para resolver , integramos duas vezes:
  1. Integração da primeira vez:
  2. Integração da segunda vez:
Então, a solução homogênea é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa . Vamos usar o método da variação de parâmetros para isso.
Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:
Em seguida, calculamos o Wronskiano das soluções e :
Com o Wronskiano, a solução particular é dada por:
Substituindo :

Passo 4

Vamos calcular as integrais:
  1. Primeira integral:
    Usando integração por partes, temos:
  2. Segunda integral:
Substituindo de volta na expressão de :

Passo 5

Agora que temos a solução particular, juntamos com a solução homogênea para obter a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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