Resolva a equação diferencial da forma
, usando o método da variação de parâmetros.
c)
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método da variação de parâmetros. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem não homogênea. Para resolver isso, precisamos encontrar duas partes: a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Vamos precisar usar integrais e um pouco de teoria sobre equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução da equação homogênea associada, que é
. Resolver a equação homogênea é importante porque ela nos dá a base para construir a solução geral.
Para resolver
, integramos duas vezes:
- Integração da primeira vez:
- Integração da segunda vez:
Então, a solução homogênea é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
da equação completa
. Vamos usar o método da variação de parâmetros para isso.
Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:
Em seguida, calculamos o Wronskiano
das soluções
e
:
Com o Wronskiano, a solução particular é dada por:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos calcular as integrais:
-
Primeira integral:Usando integração por partes, temos:
-
Segunda integral:
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 5
Agora que temos a solução particular, juntamos com a solução homogênea para obter a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é: