Resolva as equações diferenciais usando o método da separação das variáveis:
o)
o)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da separação de variáveis. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial que envolve derivadas e funções trigonométricas. Vamos precisar separar as variáveis
e
para conseguir integrar e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para isolar a derivada
. Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Simplificando o lado direito:
Passo 3
Agora, vamos isolar
dividindo ambos os lados por
:
Lembre-se que
, então ao dividir por
, multiplicamos por
.
Passo 4
Agora, temos uma equação que podemos separar as variáveis
e
. Vamos reescrever a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro:
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado direito é simples:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, focamos na integral do lado esquerdo:
Essa integral não possui uma solução elementar simples, ou seja, não pode ser expressa de forma fechada usando funções básicas. Portanto, a solução será apresentada de forma implícita.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
Onde
é a constante de integração.