Resolva as equações diferenciais usando o método da separação das variáveis:
o) sec(y) dy/dx + (x - y) = (x + y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da separação de variáveis. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial que envolve derivadas e funções trigonométricas. Vamos precisar separar as variáveis e para conseguir integrar e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para isolar a derivada . Subtraindo de ambos os lados, temos:
Simplificando o lado direito:

Passo 3

Agora, vamos isolar dividindo ambos os lados por :
Lembre-se que , então ao dividir por , multiplicamos por .

Passo 4

Agora, temos uma equação que podemos separar as variáveis e . Vamos reescrever a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro:
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado direito é simples:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, focamos na integral do lado esquerdo:
Essa integral não possui uma solução elementar simples, ou seja, não pode ser expressa de forma fechada usando funções básicas. Portanto, a solução será apresentada de forma implícita.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
Onde é a constante de integração.

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