Equação Exata:
b) Resolva a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é exata. O enunciado é:
Aqui, vamos usar o conceito de equações exatas, que nos permite encontrar uma função potencial tal que . Para isso, precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar .

Passo 2

Primeiro, identificamos os termos e da equação:

Passo 3

Vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação é exata.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função de que surge da integração.

Passo 5

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Assim:
Integrando :
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar no potencial geral.

Passo 6

Substituindo na função :

Passo 7

A solução geral da EDO é dada por :

Resposta

A solução geral da equação é:

Exercícios relacionados

Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(e)
Verificar se a função é contínua em .
Classificação: Considere as seguintes equações diferenciais ordinárias (EDOs)
b) .
Determine o domínio de . Considere a função .