Equação Exata:
b) Resolva a
.
b) Resolva a
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é exata. O enunciado é:
Aqui, vamos usar o conceito de equações exatas, que nos permite encontrar uma função potencial
tal que
. Para isso, precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar
.
Passo 2
Primeiro, identificamos os termos
e
da equação:
Passo 3
Vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que surge da integração.
Passo 5
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Assim:
Integrando
:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar no potencial geral.
Passo 6
Substituindo
na função
:
Passo 7
A solução geral da EDO é dada por
:
Resposta
A solução geral da equação é:
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(e)
(e)
Verificar se a função
é contínua em
.
Classificação: Considere as seguintes equações diferenciais ordinárias (EDOs)
b) .
b)
Determine o domínio de
. Considere a função
.