Verificar se a função é contínua em .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função vetorial que muda de expressão dependendo do valor de . Queremos saber se essa função é contínua no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade, que basicamente diz que uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função de forma mais clara:
Aqui, e são os vetores unitários nas direções e , respectivamente.

Passo 3

Agora, para verificar a continuidade em , precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 e comparar com o valor da função em .
Vamos calcular o limite de cada componente:
  1. Para a componente :
Sabemos que , então:
  1. Para a componente :

Passo 4

Agora, juntando as componentes, o limite da função quando se aproxima de 0 é:
Comparemos isso com o valor da função em :
Como o limite é igual ao valor da função no ponto, podemos concluir que a função é contínua em .

Resposta

A função é contínua em .

Exercícios relacionados

Sejam e . Calcular:
Seja Determine: a) a direção de maior variação de f e a taxa de maior variação da função no ponto
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(e)
Equação Exata:
b) Resolva a .