Verificar se a função
é contínua em
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função vetorial
que muda de expressão dependendo do valor de
. Queremos saber se essa função é contínua no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade, que basicamente diz que uma função é contínua em um ponto se o limite quando
se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função
de forma mais clara:
Aqui,
e
são os vetores unitários nas direções
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, para verificar a continuidade em
, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 e comparar com o valor da função em
.
Vamos calcular o limite de cada componente:
- Para a componente
:
Sabemos que
, então:
- Para a componente
:
Passo 4
Agora, juntando as componentes, o limite da função quando
se aproxima de 0 é:
Comparemos isso com o valor da função em
:
Como o limite é igual ao valor da função no ponto, podemos concluir que a função é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Calcular:
Seja
Determine: a) a direção de maior variação de f e a taxa de maior variação da função no ponto
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(e)
(e)
Equação Exata:
b) Resolva a .
b) Resolva a