Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(e)
(e)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem dada por
. Nosso objetivo é verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar sua solução. Para isso, vamos precisar entender o que são equações diferenciais exatas e como identificá-las.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções que multiplicam
e
. Seja
e
. Uma equação diferencial na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Já que a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos tentar encontrar um fator que depende apenas de
ou de
. Suponhamos que o fator integrante
dependa apenas de
. Então, temos:
Para que seja exata:
Calculando:
Isso parece complicado, então vamos tentar outro método. Vamos considerar que o fator integrante é uma função de
e
de uma forma mais simples ou tentar outra abordagem.
Passo 5
Outra estratégia é procurar uma solução pela separação de variáveis ou tentar integrar diretamente. Observando a equação original:
Podemos notar que o termo
sugere que a integral em relação a
pode ser útil.
Passo 6
Integrando
em relação a
, temos:
Agora, derivamos essa expressão em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos, temos:
Assim,
, o que implica que nossa suposição inicial não funciona diretamente. Portanto, precisamos reconsiderar nossa abordagem.
Resposta
A equação diferencial dada não é exata e requer métodos adicionais ou um fator integrante específico para encontrar sua solução completa.
Exercícios relacionados
Verificar se a função
é contínua em
.
Sejam
e
. Calcular:
Equação Exata:
b) Resolva a .
b) Resolva a
Classificação: Considere as seguintes equações diferenciais ordinárias (EDOs)
b) .
b)