Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(e) (x^2 + y^2) dx + (x^3 + 3xy^2 + 2xy) dy = 0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem dada por . Nosso objetivo é verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar sua solução. Para isso, vamos precisar entender o que são equações diferenciais exatas e como identificá-las.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções que multiplicam e . Seja e . Uma equação diferencial na forma é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x, ou seja, .

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Já que a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos tentar encontrar um fator que depende apenas de x ou de y. Suponhamos que o fator integrante dependa apenas de x. Então, temos:
Para que seja exata:
Calculando:
Isso parece complicado, então vamos tentar outro método. Vamos considerar que o fator integrante é uma função de x e y de uma forma mais simples ou tentar outra abordagem.

Passo 5

Outra estratégia é procurar uma solução pela separação de variáveis ou tentar integrar diretamente. Observando a equação original:
Podemos notar que o termo x^3 sugere que a integral em relação a x pode ser útil.

Passo 6

Integrando em relação a x, temos:
Agora, derivamos essa expressão em relação a y e igualamos a N:
Comparando os termos, temos:
Assim, , o que implica que nossa suposição inicial não funciona diretamente. Portanto, precisamos reconsiderar nossa abordagem.

Resposta

A equação diferencial dada não é exata e requer métodos adicionais ou um fator integrante específico para encontrar sua solução completa.

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