A equação horária para o movimento de uma partícula em um determinado movimento retilíneo é dada (no SI ) por x(t)=t^3-9 t^2+15 t+5. Nestas circunstâncias, calcule:
a) O(s) instantes(s) em que a velocidade da partícula é nula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação da posição de uma partícula em movimento retilíneo: . Queremos descobrir em que momento(s) (ou seja, em que valores de ) a velocidade da partícula é zero. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente a relação entre posição e velocidade. Lembre-se que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, então vamos precisar calcular essa derivada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a expressão para a velocidade da partícula. Como a velocidade v(t) = dxdt = ddt(t^3 - 9 t^2 + 15 t + 5) é a derivada da posição v(t) = 3t^2 - 18t + 15 em relação ao tempo , vamos derivar :
Vamos derivar termo a termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é (porque a derivada de uma constante é zero).
Então, a velocidade fica:

Passo 3

Agora, queremos saber quando a velocidade é zero. Então, vamos igualar 3t^2 - 18t + 15 = 0 a zero e resolver para t^2 - 6t + 5 = 0 :
(t - 1)(t - 5) = 0
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 3:
t - 1 = 0 Rightarrow t = 1 t - 5 = 0 Rightarrow t = 5
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar:
Então, as soluções são:

Resposta

A velocidade da partícula é nula nos instantes segundo e segundos.

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