Os itens a) e b), abaixo, são independentes.
a) A posição de um corpo que se move em uma dimensão é dada pela equação horária x(t)=8,00+18,0 t-18,0 t^2 ( x em metros e t em segundos). Para que tempo t a velocidade do corpo e nula? Qual é a posição da partícula neste tempo?
R: 0,5 s e 12,5m

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem a equação da posição de um corpo que se move em uma dimensão: , onde está em metros e em segundos. O que precisamos descobrir é em que tempo a velocidade desse corpo é nula e qual é a posição dele nesse momento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente derivadas para encontrar a velocidade a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se temos a função da posição v(t) = dx(t)dt , a velocidade é dada por:
Vamos calcular essa derivada.

Passo 3

Calculando a derivada da função v(t) = ddt(8,00) + ddt(18,0, t) - ddt(18,0, t^2) :
v(t) = 0 + 18,0 - 36,0, t
Sabemos que a derivada de uma constante é zero, a derivada de v(t) = 18,0 - 36,0, t é , e a derivada de é . Aplicando isso:
Então, a função da velocidade é:

Passo 4

Agora, queremos descobrir quando a velocidade é nula, ou seja, quando 18,0 - 36,0, t = 0 . Vamos resolver a equação:
36,0, t = 18,0
Vamos isolar t = 18,036,0 = 0,5, s :
Então, a velocidade do corpo é nula em segundos.

Passo 5

Para encontrar a posição do corpo nesse instante, substituímos x(0,5) = 8,00 + 18,0 times 0,5 - 18,0 times (0,5)^2 na função da posição 18,0 times 0,5 = 9,0 :
(0,5)^2 = 0,25
Vamos calcular cada parte:
18,0 times 0,25 = 4,5
x(0,5) = 8,00 + 9,0 - 4,5 = 12,5, m
Agora, somando tudo:

Resposta

O tempo é de 0,5 segundos e a posição da partícula nesse momento é 12,5 metros.

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