A equação horária para o movimento de uma partícula em um determinado movimento retilíneo é dada (no SI ) por x(t)=t^3-9 t^2+15 t+5. Nestas circunstâncias, calcule:
c) Os instantes t1 e t2 nos quais a velocidade da partícula é 15 m / s. Em seguida, calcule o deslocamento De neste intervalo de tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento retilíneo de uma partícula cuja posição em função do tempo é dada por (em metros). A gente precisa calcular dois momentos específicos e nos quais a velocidade da partícula é de . Depois, vamos descobrir o deslocamento entre esses dois instantes de tempo. Para isso, vamos precisar entender como a velocidade está relacionada à posição e como resolver equações para encontrar os valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se temos v(t) = dx(t)dt , a velocidade é dada por:
Então, vamos derivar a função para encontrar .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de v(t) = ddt(t^3) - ddt(9t^2) + ddt(15t) + ddt(5) :
ddt(t^3) = 3t^2
Calculando cada termo:
ddt(9t^2) = 18t
ddt(15t) = 15
ddt(5) = 0
v(t) = 3t^2 - 18t + 15
Então, a função velocidade fica:

Passo 4

Agora, queremos encontrar os instantes 3t^2 - 18t + 15 = 15 em que a velocidade é 3t^2 - 18t = 0 . Vamos igualar 3t(t - 6) = 0 a 15 e resolver para 3t = 0 Rightarrow t = 0 :
t - 6 = 0 Rightarrow t = 6
Subtraindo 15 de ambos os lados:
Podemos fatorar o 3t:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os instantes são segundos e segundos.

Passo 5

Agora, vamos calcular o deslocamento x(6) = (6)^3 - 9(6)^2 + 15(6) + 5 = 216 - 324 + 90 + 5 = -13 , m .
Primeiro, calculamos x(0) = (0)^3 - 9(0)^2 + 15(0) + 5 = 0 - 0 + 0 + 5 = 5 , m :
De
Em seguida, calculamos :
Então, o deslocamento é:

Resposta

Os instantes são segundos e segundos. O deslocamento nesse intervalo de tempo é .

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