A equação horária para o movimento de uma partícula em um determinado movimento retilíneo é dada (no SI ) por
. Nestas circunstâncias, calcule:
c) Os instantes
e
nos quais a velocidade da partícula é
. Em seguida, calcule o deslocamento
neste intervalo de tempo.
c) Os instantes
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento retilíneo de uma partícula cuja posição em função do tempo é dada por
(em metros). A gente precisa calcular dois momentos específicos
e
nos quais a velocidade da partícula é de
. Depois, vamos descobrir o deslocamento
entre esses dois instantes de tempo. Para isso, vamos precisar entender como a velocidade está relacionada à posição e como resolver equações para encontrar os valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se temos
, a velocidade
é dada por:
Então, vamos derivar a função
para encontrar
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Calculando cada termo:
Então, a função velocidade fica:
Passo 4
Agora, queremos encontrar os instantes
em que a velocidade é
. Vamos igualar
a 15 e resolver para
:
Subtraindo 15 de ambos os lados:
Podemos fatorar o 3t:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os instantes são
segundos e
segundos.
Passo 5
Agora, vamos calcular o deslocamento
.
Primeiro, calculamos
:
Em seguida, calculamos
:
Então, o deslocamento é:
Resposta
Os instantes são
segundos e
segundos. O deslocamento nesse intervalo de tempo é
.