A equação horária para o movimento de uma partícula em um determinado movimento retilíneo é dada (no SI ) por x(t)=t^3-9 t^2+15 t+5. Nestas circunstâncias, calcule:
b) A velocidade média da partícula entre o instante inicial t=0 e o instante em que sua aceleração é nula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação que descreve a posição de uma partícula em função do tempo: . O conteúdo aqui envolve movimento retilíneo uniformemente variado, onde vamos usar conceitos de derivadas para achar a velocidade média. Precisamos encontrar o instante em que a aceleração é zero e, com isso, calcular a velocidade média entre e esse instante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, calculamos a primeira derivada de v(t) = dxdt = 3t^2 - 18t + 15 :

Passo 3

Agora, a aceleração é a derivada da velocidade, ou seja, a segunda derivada da posição:
a(t) = dvdt = 6t - 18

Passo 4

Queremos saber quando a aceleração é zero. Então, igualamos 6t - 18 = 0 6t = 18 t = 3 , segundos a zero e resolvemos para :

Passo 5

Agora que sabemos que a aceleração é zero em vm = De segundos, vamos calcular a velocidade média entre e . A fórmula da velocidade média ( ) é:
Onde e .

Passo 6

Vamos calcular x(0) = (0)^3 - 9(0)^2 + 15(0) + 5 = 5 , metros e x(3) = (3)^3 - 9(3)^2 + 15(3) + 5 = 27 - 81 + 45 + 5 = -4 , metros :

Passo 7

Agora, aplicamos na fórmula da velocidade média:
vm = -4 - 53 - 0 = -93 = -3 , m/s

Resposta

A velocidade média da partícula entre e quando a aceleração é nula ( segundos) é de .

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