Uma partícula move-se ao longo do eixo x de acordo com a função x(t)=16 t^2-2 t^4 onde a posição x e o tempo t estão dados no SI.
b) Em que instante a partícula atinge o valor máximo de x? Calcule a posição e a aceleração instantânea da partícula neste instante.
R: 2s

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma partícula que se move ao longo do eixo x, e a posição dela em função do tempo está dada por . A gente precisa descobrir em que instante a partícula atinge o valor máximo de , além de calcular a posição e a aceleração nesse momento. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, que nos ajudam a encontrar máximos e a entender como uma função está mudando.

Passo 2

Primeiro, para encontrar o instante em que a partícula atinge o valor máximo de x(t) = 16 t^2 - 2 t^4 , precisamos descobrir onde a taxa de variação da posição em relação ao tempo é zero. Isso significa que vamos calcular a primeira derivada de dxdt = 32 t - 8 t^3 em relação a e igualar a zero.
A função é:
Calculando a primeira derivada:

Passo 3

Agora, vamos achar o valor de 32 t - 8 t^3 = 0 que faz essa derivada igual a zero:
8 t (4 - t^2) = 0
Podemos fatorar:
t = 0 ou 4 - t^2 = 0
Isso nos dá as soluções:
t = 0 ou t^2 = 4
t = 0 ou t = pm 2
Como o tempo não pode ser negativo no nosso contexto, descartamos . Então, temos e .

Passo 4

Para confirmar qual desses valores de d^2xdt^2 = 32 - 24 t^2 corresponde a um máximo, vamos analisar a segunda derivada de d^2xdt^2 = 32 - 24 (0)^2 = 32 > 0 , que nos dá a aceleração.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
d^2xdt^2 = 32 - 24 (2)^2 = 32 - 96 = -64 < 0
Agora, substituímos os valores de :
  • Para :
Isso indica que é um ponto de mínimo.
  • Para :
Isso indica que é um ponto de máximo.

Passo 5

Agora que sabemos que o máximo ocorre em x(2) = 16 (2)^2 - 2 (2)^4 = 16 times 4 - 2 times 16 = 64 - 32 = 32 , m segundos, vamos calcular a posição nesse instante:
d^2xdt^2 = -64 , m/s^2
E a aceleração instantânea nesse momento, que já calculamos na segunda derivada:

Resposta

A partícula atinge o valor máximo de em segundos, com a posição metros e aceleração instantânea de nesse instante.

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