Uma partícula move-se ao longo do eixo
de acordo com a função
onde a posição x e o tempo
estão dados no SI.
b) Em que instante a partícula atinge o valor máximo de
? Calcule a posição e a aceleração instantânea da partícula neste instante.
R: 2s
b) Em que instante a partícula atinge o valor máximo de
R: 2s
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma partícula que se move ao longo do eixo x, e a posição dela em função do tempo está dada por
. A gente precisa descobrir em que instante a partícula atinge o valor máximo de
, além de calcular a posição e a aceleração nesse momento. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, que nos ajudam a encontrar máximos e a entender como uma função está mudando.
Passo 2
Primeiro, para encontrar o instante em que a partícula atinge o valor máximo de
, precisamos descobrir onde a taxa de variação da posição em relação ao tempo é zero. Isso significa que vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
e igualar a zero.
A função é:
Calculando a primeira derivada:
Passo 3
Agora, vamos achar o valor de
que faz essa derivada igual a zero:
Podemos fatorar:
Isso nos dá as soluções:
Como o tempo não pode ser negativo no nosso contexto, descartamos
. Então, temos
e
.
Passo 4
Para confirmar qual desses valores de
corresponde a um máximo, vamos analisar a segunda derivada de
, que nos dá a aceleração.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Agora, substituímos os valores de
:
- Para
:
Isso indica que
é um ponto de mínimo.
- Para
:
Isso indica que
é um ponto de máximo.
Passo 5
Agora que sabemos que o máximo ocorre em
segundos, vamos calcular a posição nesse instante:
E a aceleração instantânea nesse momento, que já calculamos na segunda derivada:
Resposta
A partícula atinge o valor máximo de
em
segundos, com a posição
metros e aceleração instantânea de
nesse instante.