Uma partícula move-se ao longo do eixo x de acordo com a função x(t)=16 t^2-2 t^4 onde a posição x e o tempo t estão dados no SI.
a) Calcule a posição, velocidade instantânea e a aceleração instantânea em t=1,0s
R: 14 m, 24 m / s, 8 m / s^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma partícula que se move ao longo do eixo com a posição dada pela função . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de derivadas, que nos permite encontrar a velocidade instantânea e a aceleração instantânea a partir da função posição. Para resolver, vamos precisar calcular a posição, a primeira derivada da posição (que é a velocidade) e a segunda derivada da posição (que é a aceleração) no instante segundos.

Passo 2

Vamos calcular a posição da partícula em x(1) = 16 (1)^2 - 2 (1)^4 = 16 times 1 - 2 times 1 = 16 - 2 = 14 , m segundos. Para isso, basta substituir por 1 na função :
Então, a posição é 14 metros.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade instantânea. A velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar v(t) = dxdt = ddt ( 16 t^2 - 2 t^4 ) = 32 t - 8 t^3 :
v(1) = 32 times 1 - 8 times (1)^3 = 32 - 8 = 24 , m/s
Em seguida, substituímos :
Portanto, a velocidade instantânea é 24 metros por segundo.

Passo 4

Por fim, vamos calcular a aceleração instantânea. A aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou a primeira derivada da velocidade. Vamos derivar a(t) = dvdt = ddt ( 32 t - 8 t^3 ) = 32 - 24 t^2 :
a(1) = 32 - 24 times (1)^2 = 32 - 24 = 8 , m/s^2
Substituindo :
Assim, a aceleração instantânea é 8 metros por segundo ao quadrado.

Resposta

A posição em segundos é , a velocidade instantânea é e a aceleração instantânea é .

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