Use o teorema do trabalho-energia para resolver os seguintes problemas. Despreze a resistência do ar em todos os casos. (a) Um galho cai do topo de uma árvore de 95 m de altura, partindo do repouso. Qual sua velocidade ao atingir o solo? (b) Um vulcão ejeta uma rocha diretamente de baixo para cima a 525 m no ar. Qual é a velocidade da rocha no instante que saiu do vulcão. © Uma esquiadora que se move a 5 m / s encontra um longo trecho horizontal áspero de neve com coeficiente de atrito cinético de 0,220 com seu esqui. Qual distância ela percorre desse trecho antes de parar? (d) Suponha que o trecho áspero do item © tivesse apenas 2,90 m de comprimento. Qual a velocidade da esquiadora quando ela chegou ao final do trecho?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: temos um galho que cai de uma árvore com 95 metros de altura, começando do repouso. Queremos descobrir qual a velocidade do galho quando ele atinge o chão. Vamos usar o Teorema do Trabalho-Energia para resolver isso. Para isso, precisamos lembrar que a energia potencial gravitacional do galho vai se transformar em energia cinética durante a queda.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia potencial inicial do galho. A fórmula é:
Ep = m cdot g cdot h
onde:
  • é a energia potencial,
  • é a massa do galho (não precisamos do valor exato, pois vai se cancelar),
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura (95 m).

Passo 3

Como o galho parte do repouso, sua energia cinética inicial é zero. No final da queda, toda a energia potencial se transforma em energia cinética:
Ec = 12 m v^2
onde é a velocidade que queremos encontrar.

Passo 4

Igualando as duas energias:
m cdot g cdot h = 12 m v^2
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por g cdot h = 12 v^2 :

Passo 5

Isolando v^2 = 2 cdot g cdot h :
v = raiz2 cdot g cdot h

Passo 6

Substituindo os valores:
v = raiz2 cdot 9,8 , m/s^2 cdot 95 , m = raiz2 cdot 9,8 cdot 95 approx raiz1862 approx 43,15 , m/s

Passo 7

Agora, vamos para o item (b). Um vulcão lança uma rocha diretamente para cima, atingindo 525 metros de altura. Queremos saber qual é a velocidade inicial da rocha quando ela sai do vulcão. Usaremos novamente o Teorema do Trabalho-Energia, considerando que a energia cinética inicial se transforma em energia potencial no ponto mais alto.

Passo 8

No ponto de lançamento, a rocha tem energia cinética:
Ec = 12 m v^2
No ponto mais alto (525 m), toda essa energia vira energia potencial:
Ep = m cdot g cdot h

Passo 9

Igualando as energias:
12 m v^2 = m cdot g cdot h
Simplificando por 12 v^2 = g cdot h :

Passo 10

Isolando v^2 = 2 cdot g cdot h :
v = raiz2 cdot g cdot h

Passo 11

Substituindo os valores:
v = raiz2 cdot 9,8 , m/s^2 cdot 525 , m = raiz2 cdot 9,8 cdot 525 approx raiz10290 approx 101,44 , m/s

Passo 12

No item ©, temos uma esquiadora que se move a 5 m/s e encontra um trecho horizontal de neve com atrito cinético. Queremos saber a distância que ela percorre antes de parar. Vamos usar o Teorema do Trabalho-Energia, considerando que o trabalho da força de atrito vai reduzir a energia cinética da esquiadora até zero.

Passo 13

A energia cinética inicial da esquiadora é:
Ec = 12 m v^2
O trabalho da força de atrito é:
W = -fk cdot d
onde:
  • ,
  • é o coeficiente de atrito cinético (0,220),
  • é a força normal (igual a na horizontal),
  • é a distância que queremos encontrar.

Passo 14

Igualando a energia cinética ao trabalho realizado pelo atrito:
12 m v^2 = muk cdot m cdot g cdot d
Simplificando por 12 v^2 = muk cdot g cdot d :

Passo 15

Isolando d = 12 v^2muk cdot g = v^22 muk cdot g :

Passo 16

Substituindo os valores:
d = (5 , m/s)^22 cdot 0,220 cdot 9,8 , m/s^2 = 254,312 approx 5,80 , m

Passo 17

No item (d), temos que o trecho áspero de neve tem apenas 2,90 metros. Queremos saber qual a velocidade da esquiadora ao final desse trecho. Usaremos novamente o Teorema do Trabalho-Energia, onde parte da energia cinética inicial será dissipada pelo atrito.

Passo 18

A energia cinética inicial é:
Ecinicial = 12 m v0^2
No final, a energia cinética será:
Ecfinal = 12 m v^2
O trabalho da força de atrito é:
W = -muk cdot m cdot g cdot d

Passo 19

De acordo com o teorema:
Ecinicial + W = Ecfinal
Substituindo:
12 m v0^2 - muk cdot m cdot g cdot d = 12 m v^2
Simplificando por 12 v0^2 - muk cdot g cdot d = 12 v^2 :

Passo 20

Isolando v^2 = v0^2 - 2 muk cdot g cdot d :
v = raizv0^2 - 2 muk cdot g cdot d

Passo 21

Substituindo os valores:
v = raiz(5 , m/s)^2 - 2 cdot 0,220 cdot 9,8 , m/s^2 cdot 2,90 , m = raiz25 - 12,52 = raiz12,48 approx 3,53 , m/s

Resposta

A velocidade da esquiadora quando chegou ao final do trecho é aproximadamente 3,53 m/s.

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