Use o teorema do trabalho-energia para resolver os seguintes problemas. Despreze a resistência do ar em todos os casos. (a) Um galho cai do topo de uma árvore de 95 m de altura, partindo do repouso. Qual sua velocidade ao atingir o solo? (b) Um vulcão ejeta uma rocha diretamente de baixo para cima a 525 m no ar. Qual é a velocidade da rocha no instante que saiu do vulcão. © Uma esquiadora que se move a
encontra um longo trecho horizontal áspero de neve com coeficiente de atrito cinético de 0,220 com seu esqui. Qual distância ela percorre desse trecho antes de parar? (d) Suponha que o trecho áspero do item © tivesse apenas 2,90 m de comprimento. Qual a velocidade da esquiadora quando ela chegou ao final do trecho?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: temos um galho que cai de uma árvore com 95 metros de altura, começando do repouso. Queremos descobrir qual a velocidade do galho quando ele atinge o chão. Vamos usar o Teorema do Trabalho-Energia para resolver isso. Para isso, precisamos lembrar que a energia potencial gravitacional do galho vai se transformar em energia cinética durante a queda.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia potencial inicial do galho. A fórmula é:
onde:
-
é a energia potencial, -
é a massa do galho (não precisamos do valor exato, pois vai se cancelar), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura (95 m).
Passo 3
Como o galho parte do repouso, sua energia cinética inicial é zero. No final da queda, toda a energia potencial se transforma em energia cinética:
onde
é a velocidade que queremos encontrar.
Passo 4
Igualando as duas energias:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Isolando
:
Passo 6
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, vamos para o item (b). Um vulcão lança uma rocha diretamente para cima, atingindo 525 metros de altura. Queremos saber qual é a velocidade inicial da rocha quando ela sai do vulcão. Usaremos novamente o Teorema do Trabalho-Energia, considerando que a energia cinética inicial se transforma em energia potencial no ponto mais alto.
Passo 8
No ponto de lançamento, a rocha tem energia cinética:
No ponto mais alto (525 m), toda essa energia vira energia potencial:
Passo 9
Igualando as energias:
Simplificando por
:
Passo 10
Isolando
:
Passo 11
Substituindo os valores:
Passo 12
No item ©, temos uma esquiadora que se move a 5 m/s e encontra um trecho horizontal de neve com atrito cinético. Queremos saber a distância que ela percorre antes de parar. Vamos usar o Teorema do Trabalho-Energia, considerando que o trabalho da força de atrito vai reduzir a energia cinética da esquiadora até zero.
Passo 13
A energia cinética inicial da esquiadora é:
O trabalho da força de atrito é:
onde:
-
, -
é o coeficiente de atrito cinético (0,220), -
é a força normal (igual a na horizontal), -
é a distância que queremos encontrar.
Passo 14
Igualando a energia cinética ao trabalho realizado pelo atrito:
Simplificando por
:
Passo 15
Isolando
:
Passo 16
Substituindo os valores:
Passo 17
No item (d), temos que o trecho áspero de neve tem apenas 2,90 metros. Queremos saber qual a velocidade da esquiadora ao final desse trecho. Usaremos novamente o Teorema do Trabalho-Energia, onde parte da energia cinética inicial será dissipada pelo atrito.
Passo 18
A energia cinética inicial é:
No final, a energia cinética será:
O trabalho da força de atrito é:
Passo 19
De acordo com o teorema:
Substituindo:
Simplificando por
:
Passo 20
Isolando
:
Passo 21
Substituindo os valores:
Resposta
A velocidade da esquiadora quando chegou ao final do trecho é aproximadamente 3,53 m/s.
Exercícios relacionados
A mola de um revólver de brinquedo é comprimida de
em relação ao seu comprimento normal, e uma bola de massa
é colocado no cano. Qual a velocidade da bola ao sair do cano quando disparada?
. Despreze o atrito e considere que o cano está na horizontal.
(a) A equação
fornece a velocidade de um objeto largado do repouso sujeito a uma resistência do ar linear. No início do movimento, quando
é pequeno, a resistência do ar deve ser pouco importante e ela deve concordar com o resultado
para un objeto em queda livre no vácuo. Mostre que é esse o caso. (b) A posição do objeto é dada por
. Mostre analogamente que, para
, esta se reduz ao resultado familiar
quando té pequeno. [Sugestão: lembre-se da série de Taylor para
quando
é pequeno]. (Valor: 1,0 ponto)