Use o teorema do trabalho-energia para resolver os seguintes problemas. Despreze a resistência do ar em todos os casos. (a) Um galho cai do topo de uma árvore de 95 m de altura, partindo do repouso. Qual sua velocidade ao atingir o solo? (b) Um vulcão ejeta uma rocha diretamente de baixo para cima a 525 m no ar. Qual é a velocidade da rocha no instante que saiu do vulcão. © Uma esquiadora que se move a encontra um longo trecho horizontal áspero de neve com coeficiente de atrito cinético de 0,220 com seu esqui. Qual distância ela percorre desse trecho antes de parar? (d) Suponha que o trecho áspero do item © tivesse apenas 2,90 m de comprimento. Qual a velocidade da esquiadora quando ela chegou ao final do trecho?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: temos um galho que cai de uma árvore com 95 metros de altura, começando do repouso. Queremos descobrir qual a velocidade do galho quando ele atinge o chão. Vamos usar o Teorema do Trabalho-Energia para resolver isso. Para isso, precisamos lembrar que a energia potencial gravitacional do galho vai se transformar em energia cinética durante a queda.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia potencial inicial do galho. A fórmula é:
onde:
  • é a energia potencial,
  • é a massa do galho (não precisamos do valor exato, pois vai se cancelar),
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura (95 m).

Passo 3

Como o galho parte do repouso, sua energia cinética inicial é zero. No final da queda, toda a energia potencial se transforma em energia cinética:
onde é a velocidade que queremos encontrar.

Passo 4

Igualando as duas energias:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Isolando :

Passo 6

Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, vamos para o item (b). Um vulcão lança uma rocha diretamente para cima, atingindo 525 metros de altura. Queremos saber qual é a velocidade inicial da rocha quando ela sai do vulcão. Usaremos novamente o Teorema do Trabalho-Energia, considerando que a energia cinética inicial se transforma em energia potencial no ponto mais alto.

Passo 8

No ponto de lançamento, a rocha tem energia cinética:
No ponto mais alto (525 m), toda essa energia vira energia potencial:

Passo 9

Igualando as energias:
Simplificando por :

Passo 10

Isolando :

Passo 11

Substituindo os valores:

Passo 12

No item ©, temos uma esquiadora que se move a 5 m/s e encontra um trecho horizontal de neve com atrito cinético. Queremos saber a distância que ela percorre antes de parar. Vamos usar o Teorema do Trabalho-Energia, considerando que o trabalho da força de atrito vai reduzir a energia cinética da esquiadora até zero.

Passo 13

A energia cinética inicial da esquiadora é:
O trabalho da força de atrito é:
onde:
  • ,
  • é o coeficiente de atrito cinético (0,220),
  • é a força normal (igual a na horizontal),
  • é a distância que queremos encontrar.

Passo 14

Igualando a energia cinética ao trabalho realizado pelo atrito:
Simplificando por :

Passo 15

Isolando :

Passo 16

Substituindo os valores:

Passo 17

No item (d), temos que o trecho áspero de neve tem apenas 2,90 metros. Queremos saber qual a velocidade da esquiadora ao final desse trecho. Usaremos novamente o Teorema do Trabalho-Energia, onde parte da energia cinética inicial será dissipada pelo atrito.

Passo 18

A energia cinética inicial é:
No final, a energia cinética será:
O trabalho da força de atrito é:

Passo 19

De acordo com o teorema:
Substituindo:
Simplificando por :

Passo 20

Isolando :

Passo 21

Substituindo os valores:

Resposta

A velocidade da esquiadora quando chegou ao final do trecho é aproximadamente 3,53 m/s.

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