Resolva as equações diferenciais abaixo apresentado a máxima simplificação.
d y / d x = y / (x + raiz(x y))

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Este problema está relacionado ao cálculo de equações diferenciais, especificamente de equações que podem ser resolvidas por meio de separação de variáveis e substituições. Para resolver, vamos precisar aplicar técnicas de substituição e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Observamos que o denominador pode ser reescrito como . Isso sugere que uma substituição pode facilitar a resolução.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Assim, temos . Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo na equação original:

Passo 5

Agora, isolamos :

Passo 6

Separando as variáveis:

Passo 7

Vamos integrar ambos os lados:

Passo 8

Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Substituindo de volta:

Passo 10

Simplificando a expressão:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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