A equação do movimento de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x é dada por x(t) = e^(-2 t) sen(t), t ≥ 0.
a) Determine a aceleração e a velocidade no instante t.

Passo 1

Beleza, temos uma partícula que se move ao longo do eixo com a posição dada por para . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, especificamente as derivadas, para encontrar a velocidade e a aceleração dessa partícula no instante . Vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula, que é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, precisamos calcular:
A função é um produto de duas funções: e . Para derivar esse produto, vamos usar a regra do produto, que diz que:

Passo 3

Aplicando a regra do produto na nossa função:
Primeiro, calculamos as derivadas individuais:
Agora, aplicamos a regra do produto:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja, precisamos calcular:
Já temos . Novamente, vamos usar a regra do produto para derivar essa expressão.

Passo 5

Aplicando a regra do produto na função de velocidade:
Calculamos as derivadas individuais:
Agora, aplicamos a regra do produto:
Simplificando:

Resposta

A velocidade da partícula no instante é:
E a aceleração da partícula no instante é:

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