A equação do movimento de uma partícula que se desloca ao longo do eixo
é dada por
.
a) Determine a aceleração e a velocidade no instante
.
a) Determine a aceleração e a velocidade no instante
Passo 1
Beleza, temos uma partícula que se move ao longo do eixo
com a posição dada por
para
. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, especificamente as derivadas, para encontrar a velocidade e a aceleração dessa partícula no instante
. Vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula, que é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, precisamos calcular:
A função
é um produto de duas funções:
e
. Para derivar esse produto, vamos usar a regra do produto, que diz que:
Passo 3
Aplicando a regra do produto na nossa função:
Primeiro, calculamos as derivadas individuais:
Agora, aplicamos a regra do produto:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja, precisamos calcular:
Já temos
. Novamente, vamos usar a regra do produto para derivar essa expressão.
Passo 5
Aplicando a regra do produto na função de velocidade:
Calculamos as derivadas individuais:
Agora, aplicamos a regra do produto:
Simplificando:
Resposta
A velocidade da partícula no instante
é:
E a aceleração da partícula no instante
é: