A equação de uma onda está dada por:
y(x, t)=2 cos [pi(110 s^-1 t-x m^-1)]
onde x e y estão dados em metros e t em segundos.
Achar:
A velocidade e o sentido de propagação da onda.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de ondas juntos! A gente tem a equação da onda:
y(x, t) = 2 cos [pi(110 s^-1 t - x m^-1)]
O que precisamos encontrar é a velocidade da onda e o sentido em que ela está se propagando. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de física de ondas, como a forma geral da equação da onda e como identificar a velocidade e a direção de propagação a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a forma geral da equação de uma onda que se propaga ao longo do eixo x:
y(x, t) = A cos(kx - omega t + phi)
Aqui:
  • y(x, t) = 2 cos [pi(110 t - x)] é a amplitude da onda,
  • y(x, t) = 2 cos (pi cdot 110 t - pi x) é o número de onda,
  • é a frequência angular,
  • é uma fase inicial.
Na nossa equação, podemos comparar os termos:
Simplificando dentro do cosseno:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade de propagação da onda. A velocidade v = omegak pode ser encontrada usando a relação entre a frequência angular v = pi cdot 110pi = 110 , m/s e o número de onda :
Substituindo os valores que encontramos:
Então, a velocidade da onda é de 110 metros por segundo.

Passo 4

Para determinar o sentido de propagação da onda, observamos os sinais dentro do argumento do cosseno na equação da onda. Na forma geral:
y(x, t) = A cos(kx - omega t)
Se o sinal entre y(x, t) = 2 cos(pi cdot 110 t - pi x) e for negativo, a onda se propaga no sentido positivo do eixo x. Se for positivo, no sentido negativo.
No nosso caso, a equação é:
Como temos , o sinal entre e ainda indica uma propagação no sentido positivo de x.

Resposta

A onda se propaga com velocidade de 110 m/s no sentido positivo do eixo x.

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