Um oscilador harmônico possui massa m=15 kg, constante de amortecimento b= 1200 N s / m, e k=600000 N / m. Determinar a amplitude da resposta a uma força harmônica de magnitude F0=30 N e freqüência: (a) omega=50 rad / s; (b) omega=190 rad / s; © omega=500 rad / s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um oscilador harmônico amortecido, que é tipo aquele pêndulo que sente um atrito e vai perdendo energia com o tempo. A gente vai precisar usar conceitos de mecânica vibracional, principalmente sobre como calcular a amplitude da resposta quando uma força harmônica é aplicada. Para resolver, vamos usar a fórmula da amplitude em um sistema amortecido e calcular para cada frequência dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que vamos usar. A amplitude A = F0raiz(k - m omega^2)^2 + (b omega)^2 da resposta forçada em um oscilador harmônico amortecido é dada por:
Onde:
  • é a magnitude da força aplicada.
  • é a constante da mola.
  • é a massa do oscilador.
  • é a constante de amortecimento.
  • é a frequência angular da força aplicada.
Essa fórmula nos mostra como a amplitude depende da diferença entre a “força da mola” e a “força inercial” ( ), além do efeito do amortecimento.

Passo 3

Vamos anotar os valores que temos:
  • Massa,
  • Constante de amortecimento,
  • Constante da mola,
  • Força aplicada,
  • Frequências angulares:

Passo 4

Vamos calcular a amplitude para cada frequência. Vamos colocar os valores na fórmula para cada caso.

Parte (a) A = 30raiz(600000 - 15 times 50^2)^2 + (1200 times 50)^2

15 times 2500 = 37500
Primeiro, calculamos 600000 - 37500 = 562500 :
1200 times 50 = 60000
Subtraindo de raiz562500^2 + 60000^2 = raiz316406250000 + 3600000000 = raiz320,006,250,000 approx 56568.6 :
A = 3056568.6 approx 0.00053 , m
Agora, calculamos A = 30raiz(600000 - 15 times 190^2)^2 + (1200 times 190)^2 :
15 times 36100 = 541500
Então, o denominador fica:
600000 - 541500 = 58500
Finalmente, a amplitude:
1200 times 190 = 228000

Parte (b) raiz58500^2 + 228000^2 = raiz3422250000 + 51984000000 = raiz55406250000 approx 235420.3

A = 30235420.3 approx 0.000127 , m
Calculando A = 30raiz(600000 - 15 times 500^2)^2 + (1200 times 500)^2 :
15 times 250000 = 3750000
Subtraindo de 600000 - 3750000 = -3150000 :
1200 times 500 = 600000
Calculando raiz(-3150000)^2 + 600000^2 = raiz9922500000000 + 360000000000 = raiz10222500000000 approx 3197500 :
A = 303197500 approx 0.0000094 , m
Denominador:
Amplitude:

Parte ©

Calculando :
Subtraindo de :
Calculando :
Denominador:
Amplitude:

Resposta

As amplitudes da resposta são:
  • (a)
  • (b)
  • ©

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