A equação para um oscilador harmônico sujeito a força externa é
, onde
,
e
são constantes positivas e
denota a posição no instante
. Mostre que uma soma do tipo
pode ser reescrita como
, onde
e
são constantes expressas em termos de
e
. Esboce o gráfico de
, supondo por exemplo que
e
são positivas. Note, assim, que
corresponde à frequência da oscilação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um oscilador harmônico que está sendo empurrado por uma força externa. A gente tem uma equação que descreve isso: . O que precisamos fazer é mostrar que uma soma do tipo pode ser reescrita como , onde
e
são constantes que dependem de
e
. Depois, vamos desenhar o gráfico dessa nova forma, assumindo que
e
são positivas. Para resolver isso, vamos usar um pouco de trigonometria e entendimento sobre combinações de funções seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que é uma combinação linear de cosseno e seno com a mesma frequência
. Existe uma identidade trigonométrica que nos permite juntar essas duas funções em uma única função seno com amplitude e fase ajustadas.
Passo 3
A identidade que vamos usar é a seguinte:
Nosso objetivo é expressar
e
em termos de
e
.
Passo 4
Para encontrar
e
, vamos expandir usando a fórmula da diferença de seno:
Comparando isso com , temos:
Então, podemos igualar os coeficientes das funções semelhantes:
Passo 5
Agora, queremos resolver para
e
. Primeiro, vamos encontrar
usando o teorema de Pitágoras:
Isso porque .
Passo 6
Para encontrar
, podemos dividir as duas equações:
Então,
Passo 7
Agora que temos
e
em termos de
e
, podemos reescrever a soma original como:
onde:
Passo 8
Vamos agora esboçar o gráfico de , assumindo que
e
são positivos. Este gráfico será uma função seno com amplitude
, frequência
e deslocamento de fase
.
Imagine uma onda seno padrão, que oscila entre
e
. Por causa do
, a onda será deslocada para a direita no eixo do tempo. A frequência
determina quantas oscilações ocorrem por unidade de tempo.
Resposta
Portanto, mostramos que pode ser reescrito como , onde:
Além disso, o gráfico de representa uma onda seno com amplitude
, frequência
e um deslocamento de fase
positivo.
Exercícios relacionados
(spoiler: Exercício importante e super legal!) Escreva uma EDO cujas soluções, independentemente das condições iniciais, se aproximam (à medida que
cresce) da função
.
A equação para um oscilador harmônico sujeito a força externa é
, onde
,
e
são constantes positivas e
denota a posição no instante
. Use o item (b) para reescrever a solução geral do caso sem força externa do item (a).
A equação para um oscilador harmônico sujeito a força externa é
, onde
,
e
são constantes positivas e
denota a posição no instante
. Determine a frequência de oscilação (ainda no caso sem força externa) em termos de
e
. Essa é a chamada frequência natural.