A equação para um oscilador harmônico sujeito a força externa é , onde , e são constantes positivas e denota a posição no instante . Mostre que uma soma do tipo pode ser reescrita como , onde e são constantes expressas em termos de e . Esboce o gráfico de , supondo por exemplo que e são positivas. Note, assim, que corresponde à frequência da oscilação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um oscilador harmônico que está sendo empurrado por uma força externa. A gente tem uma equação que descreve isso: . O que precisamos fazer é mostrar que uma soma do tipo pode ser reescrita como , onde e são constantes que dependem de e . Depois, vamos desenhar o gráfico dessa nova forma, assumindo que e são positivas. Para resolver isso, vamos usar um pouco de trigonometria e entendimento sobre combinações de funções seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é uma combinação linear de cosseno e seno com a mesma frequência . Existe uma identidade trigonométrica que nos permite juntar essas duas funções em uma única função seno com amplitude e fase ajustadas.

Passo 3

A identidade que vamos usar é a seguinte:
Nosso objetivo é expressar e em termos de e .

Passo 4

Para encontrar e , vamos expandir usando a fórmula da diferença de seno:
Comparando isso com , temos:
Então, podemos igualar os coeficientes das funções semelhantes:

Passo 5

Agora, queremos resolver para e . Primeiro, vamos encontrar usando o teorema de Pitágoras:
Isso porque .

Passo 6

Para encontrar , podemos dividir as duas equações:
Então,

Passo 7

Agora que temos e em termos de e , podemos reescrever a soma original como:
onde:

Passo 8

Vamos agora esboçar o gráfico de , assumindo que e são positivos. Este gráfico será uma função seno com amplitude , frequência e deslocamento de fase .
Imagine uma onda seno padrão, que oscila entre e . Por causa do , a onda será deslocada para a direita no eixo do tempo. A frequência determina quantas oscilações ocorrem por unidade de tempo.

Resposta

Portanto, mostramos que pode ser reescrito como , onde:
Além disso, o gráfico de representa uma onda seno com amplitude , frequência e um deslocamento de fase positivo.

Exercícios relacionados

(spoiler: Exercício importante e super legal!) Escreva uma EDO cujas soluções, independentemente das condições iniciais, se aproximam (à medida que cresce) da função .
A equação para um oscilador harmônico sujeito a força externa é , onde , e são constantes positivas e denota a posição no instante . Use o item (b) para reescrever a solução geral do caso sem força externa do item (a).
A equação para um oscilador harmônico sujeito a força externa é , onde , e são constantes positivas e denota a posição no instante . Determine a frequência de oscilação (ainda no caso sem força externa) em termos de e . Essa é a chamada frequência natural.