Esboce o gráfico das seguintes equações: 4 x y-3 y^2=36.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisamos fazer o esboço do gráfico dessa equação. Isso entra no conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente em conic sections (secções cônicas). Para resolver, vamos reorganizar a equação e identificar que tipo de curva estamos lidando.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar reescrever a equação de forma que fique mais fácil de identificar a curva. A equação dada é:
4xy - 3y^2 = 36
Vamos dividir todos os termos por 3 para simplificar:
43xy - y^2 = 12

Passo 3

Agora, vamos reorganizar os termos para isolar -y^2 + 43xy = 12:
y^2 - 43xy = -12
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:
Isso parece complicado, então vamos completar o quadrado ou usar uma mudança de variável. Mas, nesse caso, é mais fácil identificar que a equação representa uma hipérbole rotacionada.

Passo 4

Para identificar melhor, vamos escrever a equação na forma padrão de uma hipérbole rotacionada. A forma geral é:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
Comparando com nossa equação:
y^2 - 43xy + 12 = 0
Aqui, temos , , , , , .

Passo 5

Para determinar o tipo de conic section, usamos o discriminante:
De
Calculando:
De 0
Como , sabemos que é uma hipérbole.

Passo 6

Como há um termo , a hipérbole está rotacionada. Para desenhar o gráfico, podemos encontrar as assíntotas ou usar uma rotação de coordenadas para eliminar o termo . Mas para simplificar, vamos identificar alguns pontos que satisfazem a equação.

Passo 7

Vamos achar pontos onde y^2 = -12:
0 - 0 = 36
Isso não tem solução real, então a hipérbole não cruza o eixo y.
Agora, para :
Também não tem solução, então não cruza o eixo x.

Passo 8

Vamos tentar valores de 4x(6) - 3(6)^2 = 36 Rightarrow 24x - 108 = 36 Rightarrow 24x = 144 Rightarrow x = 6 e 4x(3) - 3(3)^2 = 36 Rightarrow 12x - 27 = 36 Rightarrow 12x = 63 Rightarrow x = 5.25 que satisfaçam . Por exemplo, se :
Então, o ponto (6, 6) está na hipérbole.
Outro exemplo, se :
Então, o ponto também está na hipérbole.

Passo 9

Com esses pontos, a gente consegue começar a desenhar a hipérbole. Lembrando que por ser uma hipérbole, ela terá duas ramos que se afastam indefinidamente. A rotação faz com que os ramos estejam inclinados em relação aos eixos coordenados.

Resposta

O gráfico da equação é uma hipérbole rotacionada que não cruza os eixos x e y, com ramos inclinados formando uma curva aberta em duas direções.

Exercícios relacionados