Esboce o gráfico das seguintes equações:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e precisamos fazer o esboço do gráfico dessa equação. Isso entra no conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente em conic sections (secções cônicas). Para resolver, vamos reorganizar a equação e identificar que tipo de curva estamos lidando.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar reescrever a equação de forma que fique mais fácil de identificar a curva. A equação dada é:
Vamos dividir todos os termos por 3 para simplificar:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar os termos para isolar
:
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:
Isso parece complicado, então vamos completar o quadrado ou usar uma mudança de variável. Mas, nesse caso, é mais fácil identificar que a equação representa uma hipérbole rotacionada.
Passo 4
Para identificar melhor, vamos escrever a equação na forma padrão de uma hipérbole rotacionada. A forma geral é:
Comparando com nossa equação:
Aqui, temos
,
,
,
,
,
.
Passo 5
Para determinar o tipo de conic section, usamos o discriminante:
Calculando:
Como
, sabemos que é uma hipérbole.
Passo 6
Como há um termo
, a hipérbole está rotacionada. Para desenhar o gráfico, podemos encontrar as assíntotas ou usar uma rotação de coordenadas para eliminar o termo
. Mas para simplificar, vamos identificar alguns pontos que satisfazem a equação.
Passo 7
Vamos achar pontos onde
:
Isso não tem solução real, então a hipérbole não cruza o eixo y.
Agora, para
:
Também não tem solução, então não cruza o eixo x.
Passo 8
Vamos tentar valores de
e
que satisfaçam
. Por exemplo, se
:
Então, o ponto (6, 6) está na hipérbole.
Outro exemplo, se
:
Então, o ponto
também está na hipérbole.
Passo 9
Com esses pontos, a gente consegue começar a desenhar a hipérbole. Lembrando que por ser uma hipérbole, ela terá duas ramos que se afastam indefinidamente. A rotação faz com que os ramos estejam inclinados em relação aos eixos coordenados.
Resposta
O gráfico da equação
é uma hipérbole rotacionada que não cruza os eixos x e y, com ramos inclinados formando uma curva aberta em duas direções.
Exercícios relacionados
Quais dos seguintes conjuntos
abaixo são subespaço de
? Justifique.
©
©
Dê a equação da parábola de vértice na origem e e reta diretriz
.
Seja
o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem
. Qual dos seguintes conjuntos de matrizes em
são subespaços vetoriais de
? Justifique sua resposta.
(a) Todas as matrizes inversíveis.
(a) Todas as matrizes
Esboce o gráfico das seguintes equações:
.