Esboce o gráfico das seguintes equações: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisamos fazer o esboço do gráfico dessa equação. Isso entra no conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente em conic sections (secções cônicas). Para resolver, vamos reorganizar a equação e identificar que tipo de curva estamos lidando.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar reescrever a equação de forma que fique mais fácil de identificar a curva. A equação dada é:
Vamos dividir todos os termos por 3 para simplificar:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar os termos para isolar :
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:
Isso parece complicado, então vamos completar o quadrado ou usar uma mudança de variável. Mas, nesse caso, é mais fácil identificar que a equação representa uma hipérbole rotacionada.

Passo 4

Para identificar melhor, vamos escrever a equação na forma padrão de uma hipérbole rotacionada. A forma geral é:
Comparando com nossa equação:
Aqui, temos , , , , , .

Passo 5

Para determinar o tipo de conic section, usamos o discriminante:
Calculando:
Como , sabemos que é uma hipérbole.

Passo 6

Como há um termo , a hipérbole está rotacionada. Para desenhar o gráfico, podemos encontrar as assíntotas ou usar uma rotação de coordenadas para eliminar o termo . Mas para simplificar, vamos identificar alguns pontos que satisfazem a equação.

Passo 7

Vamos achar pontos onde :
Isso não tem solução real, então a hipérbole não cruza o eixo y.
Agora, para :
Também não tem solução, então não cruza o eixo x.

Passo 8

Vamos tentar valores de e que satisfaçam . Por exemplo, se :
Então, o ponto (6, 6) está na hipérbole.
Outro exemplo, se :
Então, o ponto também está na hipérbole.

Passo 9

Com esses pontos, a gente consegue começar a desenhar a hipérbole. Lembrando que por ser uma hipérbole, ela terá duas ramos que se afastam indefinidamente. A rotação faz com que os ramos estejam inclinados em relação aos eixos coordenados.

Resposta

O gráfico da equação é uma hipérbole rotacionada que não cruza os eixos x e y, com ramos inclinados formando uma curva aberta em duas direções.

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