Dê a equação da parábola de vértice e reta diretriz .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola que tem o vértice em e uma reta diretriz dada por . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas, vértices e diretrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. O vértice é o ponto médio entre o foco e a diretriz.

Passo 3

Como já temos o vértice e a equação da diretriz , nosso próximo passo é encontrar o foco da parábola. Para isso, precisamos determinar a distância entre o vértice e a diretriz.

Passo 4

A distância de um ponto a uma reta é dada pela fórmula:
No nosso caso, a diretriz é e o vértice é . Vamos calcular essa distância:

Passo 5

Sabendo que o vértice está a uma distância da diretriz, o foco estará a essa mesma distância do vértice, mas do lado oposto da diretriz. Para encontrar a posição do foco, precisamos determinar a direção perpendicular à diretriz.

Passo 6

A diretriz tem coeficientes e . A direção perpendicular a essa reta é dada pelo vetor . Vamos normalizar esse vetor para encontrar a direção correta:
O vetor unitário é .

Passo 7

Multiplicando o vetor unitário pela distância , temos o deslocamento do vértice para o foco:
Agora, adicionamos esse deslocamento ao vértice para encontrar as coordenadas do foco:
Portanto, o foco está em .

Passo 8

Com o vértice e o foco , podemos usar a fórmula da equação da parábola. A equação geral de uma parábola com vértice e foco (paralela ao eixo x) é:
No nosso caso, porém, a parábola está inclinada, já que a diretriz não é horizontal nem vertical. Para resolver isso, vamos usar a definição geométrica e igualar as distâncias do ponto ao foco e à diretriz.

Passo 9

A distância do ponto ao foco é:
A distância do ponto à diretriz é:
Igualando essas duas distâncias:

Passo 10

Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 11

Expandindo os termos:
Simplificando:

Passo 12

Reorganizando todos os termos para um lado da equação:
Simplificando os coeficientes:

Passo 13

A equação final da parábola é:

Resposta

A equação da parábola de vértice e reta diretriz é:

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