Dê a equação da parábola de vértice (2,1) e reta diretriz 4 x+3 y=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola que tem o vértice em (2,1) e uma reta diretriz dada por 4x + 3y = 1. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas, vértices e diretrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. O vértice é o ponto médio entre o foco e a diretriz.

Passo 3

Como já temos o vértice (2,1) e a equação da diretriz 4x + 3y = 1, nosso próximo passo é encontrar o foco da parábola. Para isso, precisamos determinar a distância entre o vértice e a diretriz.

Passo 4

A distância d de um ponto (x0, y0) a uma reta Ax + By + C = 0 é dada pela fórmula:
d = |Ax0 + By0 + C|raizA^2 + B^2
No nosso caso, a diretriz é 4x + 3y - 1 = 0 e o vértice é (2,1). Vamos calcular essa distância:
d = |4 times 2 + 3 times 1 - 1|raiz4^2 + 3^2 = |8 + 3 - 1|5 = 105 = 2

Passo 5

Sabendo que o vértice está a uma distância 2 da diretriz, o foco estará a essa mesma distância do vértice, mas do lado oposto da diretriz. Para encontrar a posição do foco, precisamos determinar a direção perpendicular à diretriz.

Passo 6

A diretriz 4x + 3y = 1 tem coeficientes A = 4 e B = 3. A direção perpendicular a essa reta é dada pelo vetor (A, B) = (4, 3). Vamos normalizar esse vetor para encontrar a direção correta:
Comprimento do vetor = raiz4^2 + 3^2 = 5
O vetor unitário é (45, 35).

Passo 7

Multiplicando o vetor unitário pela distância 2, temos o deslocamento do vértice para o foco:
(2 times 45, 2 times 35) = (85, 65)
Agora, adicionamos esse deslocamento ao vértice (2,1) para encontrar as coordenadas do foco:
(2 + 85, 1 + 65) = (185, 115)
Portanto, o foco está em (185, 115).

Passo 8

Com o vértice (2,1) e o foco (185, 115), podemos usar a fórmula da equação da parábola. A equação geral de uma parábola com vértice (h,k) e foco (h + p, k) (paralela ao eixo x) é:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
No nosso caso, porém, a parábola está inclinada, já que a diretriz não é horizontal nem vertical. Para resolver isso, vamos usar a definição geométrica e igualar as distâncias do ponto (x,y) ao foco e à diretriz.

Passo 9

A distância do ponto (x,y) ao foco (185, 115) é:
raiz(x - 185)^2 + (y - 115)^2
A distância do ponto (x,y) à diretriz 4x + 3y - 1 = 0 é:
|4x + 3y - 1|5
Igualando essas duas distâncias:
raiz(x - 185)^2 + (y - 115)^2 = |4x + 3y - 1|5

Passo 10

Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(x - 185)^2 + (y - 115)^2 = (4x + 3y - 15)^2
Multiplicando ambos os lados por 25 para eliminar o denominador:
25(x - 185)^2 + 25(y - 115)^2 = (4x + 3y - 1)^2

Passo 11

Expandindo os termos:
25(x^2 - 365x + 32425) + 25(y^2 - 225y + 12125) = 16x^2 + 24xy + 9y^2 - 8x - 6y +1
Simplificando:
25x^2 - 180x + 324 + 25y^2 - 110y + 121 = 16x^2 + 24xy + 9y^2 - 8x - 6y +1

Passo 12

Reorganizando todos os termos para um lado da equação:
25x^2 - 180x + 324 + 25y^2 - 110y + 121 - 16x^2 - 24xy - 9y^2 +8x +6y -1 =0
Simplificando os coeficientes:
(25x^2 -16x^2) + (-180x +8x) + (25y^2 -9y^2) + (-110y +6y) + (324 +121 -1) -24xy =0
9x^2 -172x +16y^2 -104y +444 -24xy =0

Passo 13

A equação final da parábola é:
9x^2 - 172x +16y^2 -104y +444 -24xy =0

Resposta

A equação da parábola de vértice (2,1) e reta diretriz 4x + 3y = 1 é:
9x^2 - 172x +16y^2 -104y +444 -24xy =0

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