Dê a equação da parábola de vértice
e reta diretriz
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola que tem o vértice em
e uma reta diretriz dada por
. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas, vértices e diretrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. O vértice é o ponto médio entre o foco e a diretriz.
Passo 3
Como já temos o vértice
e a equação da diretriz
, nosso próximo passo é encontrar o foco da parábola. Para isso, precisamos determinar a distância entre o vértice e a diretriz.
Passo 4
A distância
de um ponto
a uma reta
é dada pela fórmula:
No nosso caso, a diretriz é
e o vértice é
. Vamos calcular essa distância:
Passo 5
Sabendo que o vértice está a uma distância
da diretriz, o foco estará a essa mesma distância do vértice, mas do lado oposto da diretriz. Para encontrar a posição do foco, precisamos determinar a direção perpendicular à diretriz.
Passo 6
A diretriz
tem coeficientes
e
. A direção perpendicular a essa reta é dada pelo vetor
. Vamos normalizar esse vetor para encontrar a direção correta:
O vetor unitário é
.
Passo 7
Multiplicando o vetor unitário pela distância
, temos o deslocamento do vértice para o foco:
Agora, adicionamos esse deslocamento ao vértice
para encontrar as coordenadas do foco:
Portanto, o foco está em
.
Passo 8
Com o vértice
e o foco
, podemos usar a fórmula da equação da parábola. A equação geral de uma parábola com vértice
e foco
(paralela ao eixo x) é:
No nosso caso, porém, a parábola está inclinada, já que a diretriz não é horizontal nem vertical. Para resolver isso, vamos usar a definição geométrica e igualar as distâncias do ponto
ao foco e à diretriz.
Passo 9
A distância do ponto
ao foco
é:
A distância do ponto
à diretriz
é:
Igualando essas duas distâncias:
Passo 10
Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 11
Expandindo os termos:
Simplificando:
Passo 12
Reorganizando todos os termos para um lado da equação:
Simplificando os coeficientes:
Passo 13
A equação final da parábola é:
Resposta
A equação da parábola de vértice
e reta diretriz
é:
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das seguintes equações:
.
Seja
o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem
. Qual dos seguintes conjuntos de matrizes em
são subespaços vetoriais de
? Justifique sua resposta.
(a) Todas as matrizes inversíveis.
(a) Todas as matrizes
Obter uma base para
que contenha os vetores:
Sejam
e
. Mostre que
e
são subespaços de
.