Obter uma base para que contenha os vetores:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar uma base para o espaço tridimensional, , que inclua o vetor . Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Para , precisamos de três vetores que cumpram essas condições.

Passo 2

Primeiro, já temos um vetor que precisa fazer parte da nossa base: . Agora, precisamos encontrar mais dois vetores que, junto com , sejam linearmente independentes. Isso significa que nenhum desses vetores pode ser uma combinação linear dos outros.

Passo 3

Vamos escolher dois vetores adicionais que não estejam na mesma direção que . Um jeito simples de fazer isso é escolher vetores que tenham componentes diferentes das de . Por exemplo, podemos escolher:

Passo 4

Agora, precisamos verificar se os três vetores , e são linearmente independentes. Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e calculamos o determinante:
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para que contém o vetor é:

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Dê a equação da parábola de vértice e reta diretriz .
Esboce o gráfico das seguintes equações: .
Sejam e . Mostre que e são subespaços de .
1
Representar o vetor em relação a cada uma das bases e do plano.