Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar uma base para o espaço tridimensional, , que inclua o vetor . Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Para , precisamos de três vetores que cumpram essas condições.
Passo 2
Primeiro, já temos um vetor que precisa fazer parte da nossa base: . Agora, precisamos encontrar mais dois vetores que, junto com , sejam linearmente independentes. Isso significa que nenhum desses vetores pode ser uma combinação linear dos outros.
Passo 3
Vamos escolher dois vetores adicionais que não estejam na mesma direção que . Um jeito simples de fazer isso é escolher vetores que tenham componentes diferentes das de . Por exemplo, podemos escolher:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se os três vetores , e são linearmente independentes. Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e calculamos o determinante:
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.