Obter uma base para R^3 que contenha os vetores:
(1,0,2)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar uma base para o espaço tridimensional, , que inclua o vetor . Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Para , precisamos de três vetores que cumpram essas condições.

Passo 2

Primeiro, já temos um vetor que precisa fazer parte da nossa base: . Agora, precisamos encontrar mais dois vetores que, junto com , sejam linearmente independentes. Isso significa que nenhum desses vetores pode ser uma combinação linear dos outros.

Passo 3

Vamos escolher dois vetores adicionais que não estejam na mesma direção que v2 = (0, 1, 0) e v3 = (0, 0, 1) . Um jeito simples de fazer isso é escolher vetores que tenham componentes diferentes das de . Por exemplo, podemos escolher:

Passo 4

Agora, precisamos verificar se os três vetores 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 2 & 0 & 1 , 1 times (1 times 1 - 0 times 0) - 0 times (0 times 1 - 2 times 0) + 0 times (0 times 0 - 1 times 2) = 1 times 1 - 0 + 0 = 1 e são linearmente independentes. Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e calculamos o determinante:
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para , (1,; 0,; 2),;; (0,; 1,; 0),;; (0,; 0,; 1) , que contém o vetor é:

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